AMC 10 · 2022 · #13

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

pythagorean-theoremsimilar-trianglescoordinate-geometryarea-trianglesarea-rectangles identify-subproblemsarea-differencecomplementary-counting ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremsimilar-triangles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

4 곱하기 8인 직사각형 안에 한 변이 5인 정사각형이 들어 있습니다. 정사각형의 세 꼭짓점이 직사각형의 서로 다른 세 변 위에 놓입니다. 두 도형 안에 모두 들어가는 영역의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$15\dfrac{1}{8}$

(B)

$15\dfrac{3}{8}$

(C)

$15\dfrac{1}{2}$

(D)

$15\dfrac{5}{8}$

(E)

$15\dfrac{7}{8}$

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 (그림): 직사각형을 [0,8] × [0,4] 좌표에 올려놓기. 도구 #7 (쪼개기): 정사각형의 비스듬한 변과 직사각형 아래/오른쪽 변이 만드는 두 직각삼각형이 모두 3-4-5 — 이것으로 모든 꼭짓점의 좌표가 결정됩니다. 도구 #16 (관점 바꾸기): 겹치는 영역 (오각형)을 직접 구하는 대신, 정사각형 전체 넓이 (25) 에서 직사각형 위로 삐져나간 작은 삼각형을 빼는 쪽이 훨씬 깔끔합니다.

1STEP 1

직각과 같은 길이 쓰기

이웃한 두 변이 수직이고 길이가 같습니다.

AB = BC = 5, ∠ ABC = 90°

2STEP 2

한 변의 조각 구하기

피타고라스가 남은 조각을 줍니다.

A'B = √(25 - 16) = 3

3STEP 3

세 꼭짓점 좌표 정하기

세 꼭짓점의 좌표가 정해집니다.

A = (1, 4), B = (4, 0), C = (8, 3)

4STEP 4

네 번째 꼭짓점 구하기

평행사변형 규칙으로 네 번째를 구합니다.

D = (1+4, 4+3) = (5, 7)

5STEP 5

밖으로 나간 곳 찾기

한 모서리만 밖으로 나갑니다.

G = (29/4, 4)

6STEP 6

나간 부분의 넓이

나간 부분은 삼각형입니다.

바깥 넓이 = 1/2 · 25/4 · 3 = 75/8

7STEP 7

빼서 마무리

빼면 15와 8분의 5입니다.

25 - 75/8 = 125/8 = 15 5/8

정답

15 5/8

겹친 부분은 정사각형 (25) 보다도 작고 직사각형 (32) 보다도 작아야 하는데, 15 5/8는 둘 다 만족합니다. 삐져나간 삼각형 넓이 75/8 ≈ 9.4는 밑변 ≈ 6.25, 높이 3의 삼각형으로서 자연스러운 크기. 선택지가 15 1/8부터 15 7/8까지 1/8 간격으로 촘촘해서, 75/8을 정확히 계산해야만 답이 갈립니다.

💡핵심 정리

숨어 있는 두 개의 3-4-5 직각삼각형이 정사각형의 모든 꼭짓점을 잡아 줍니다. 정사각형 위쪽 꼭짓점 (5, 7)이 직사각형 밖으로 삐져나가니까, 그 작은 삼각형 (넓이 75/8)을 잘라 내면 남는 게 25 - 75/8 = 15 5/8, 선택지 (D).