AMC 10 · 2022 · #2
학년 8 geometry-2d pythagorean-theoreminteger-pythagorean-triplesarea-rectangles identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
마름모의 한 변 위의 점이 그 변을 3과 2로 나눕니다. 이웃한 꼭짓점에서 그 점으로 그은 선분이 그 변에 수직입니다. 마름모의 넓이를 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$3\sqrt 5$
(B)
10
(C)
$6\sqrt 5$
(D)
20
(E)
25
풀이 과정
전략 그림 그리기
그림은 이미 있지만, 핵심은 문제의 조건 — AP=3, PD=2, P 에서 직각 — 을 그림 위에 표시하는 것입니다. 도구 #1(그림 그리기)이 라벨을 정리해 주면, BP 가 밑변 AD 에 대한 마름모의 높이임이 바로 보입니다. 그 다음은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 단계: 직각삼각형 APB 에서 BP 를 먼저 구하고, 평행사변형 넓이 공식 "밑변 × 높이" 에 대입.
1STEP 1
한 변의 길이 구하기
네 변이 모두 같습니다.
AD = 3 + 2 = 5, AB = AD = 5
"마름모는 네 변이 모두 같다" 는 5학년 "도형을 성질로 분류" — 한 변의 길이가 네 변 모두에 적용됩니다.
5.G.B.4Draw A Diagram2STEP 2
높이 구하기
피타고라스가 높이를 줍니다.
AP² + BP² = AB² → 3² + BP² = 5² → BP² = 25 - 9 = 16 → BP = 4
고전적인 3-4-5 직각삼각형 — 8학년 "피타고라스 정리로 미지 변 구하기". 계산하지 않아도 알아챌 수 있을 정도.
8.G.B.7Identify Subproblems3STEP 3
넓이 구하기
밑변에 높이를 곱하면 20입니다.
넓이 = AD × BP = 5 × 4 = 20
마름모도 평행사변형이므로 넓이 = 밑변 × 높이 — 6학년 "도형을 조립해 넓이 구하기". 정답 (D).
마름모는 평행사변형이므로, 넓이는 밑변 곱하기 높이다.
▸ 왜?
같은 밑변 위에 같은 평행선 사이에 있는 평행사변형과 직사각형은 같은 넓이를 감싼다.
밑변이 같고 꼭짓점이 평행선 위면 넓이가 같다삼각형의 꼭짓점을 밑변과 평행한 선을 따라 밀면 높이가 변하지 않으므로, 아무리 기울어 보여도 넓이는 그대로다.
▸ 왜?
대각선이 그것을 두 삼각형으로 자르고, 각각은 밑변 곱하기 높이의 절반이므로, 두 절반이 다시 그것을 이룬다.
삼각형의 넓이삼각형의 넓이는 밑변×높이의 절반이다.
정답
20
그림으로 다시 점검: 한 변이 5 인 마름모의 넓이는 정사각형일 때의 5 × 5 = 25가 최대. 높이 BP = 4는 한 변보다 살짝 작으므로 마름모는 정사각형에 거의 가깝지만 그것은 아닌 상태 — 넓이 20은 [0, 25] 구간에 자연스럽게 들어가고 선택지 (D)와 맞습니다. 또 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²으로 3-4-5 삼각형도 정확히 확인됩니다.
💡핵심 정리
이 AMC 12 문제는 사실 8학년 "3-4-5 직각삼각형" 만 알면 풀 수 있어요 — BP 가 4로 떨어지면 마름모 넓이는 5 × 4 = 20으로 마무리됩니다.
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