AMC 10 · 2022 · #25

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

coordinate-geometryslope-interceptsystems-of-equationspythagorean-theoremarea-rectanglesrotation-isometry identify-subproblemssymmetry-argumentconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: coordinate-geometrypythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

한 변이 1인 정육각형 네 개가 한 변이 1인 정사각형을 둘러싸고 각각 정사각형의 한 변 전체를 공유합니다. 그 바깥 윤곽은 볼록하지 않은 12각형입니다. 넓이를 정수 곱하기 제곱근 더하기 정수 꼴로 쓰고 세 정수를 더하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-12

(B)

-4

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림)이 열쇠인데, 가장 강한 형태로 써야 함 — 모든 꼭짓점을 좌표로 옮기기. 눈으로만 보는 그림은 기울어진 두 육각형 변이 어디서 만나는지 알려주지 못하는데, 이 문제의 핵심이 바로 그 교점임. 도구 #17(공간)은 한 변 1 인 정육각형이 공짜로 주는 유일한 길이, 즉 마주 보는 변 사이 거리 √(3)을 꺼냄 — 이것 때문에 육각형이 정사각형 밖으로 튀어나옴. 도구 #13(대수)은 기울어진 두 변을 일차식으로 바꾸어 안쪽을 향한 꼭짓점을 계산. 도구 #7(쪼개기)은 넓이를 가운데 십자 모양 하나와 합동인 모서리 조각 네 개로 나눔. 도구 #16(관점 바꾸기)은 안전장치 — 윤곽은 네 육각형의 합집합이지 볼록껍질이 아니므로 움푹 들어간 네 곳을 반드시 남겨야 함.

1STEP 1

정사각형을 좌표에 올리기

정사각형을 좌표에 올립니다.

정사각형 = [0,1] × [0,1]

2STEP 2

정육각형 재기

마주 보는 변 사이 거리를 잽니다.

아포템 = √(3)/2, 마주 보는 변 사이 거리 = √(3)

3STEP 3

네 육각형 적어두기

네 육각형의 바깥 변을 적어둡니다.

바깥 변: y = √(3), y = 1-√(3), x = √(3), x = 1-√(3)

4STEP 4

열두 꼭짓점 찾기

바깥 꼭짓점 열두 개를 찾습니다.

8 개(바깥 변 끝점) + 4 개(교점) = 12

5STEP 5

만나는 두 변의 식

만나는 두 변의 직선의 식을 씁니다.

y = √(3) x - 2√(3) + 1 그리고 y = √(3)/3x - 1

6STEP 6

파인 꼭짓점 구하기

안쪽으로 파인 꼭짓점을 구합니다.

x = 3-√(3), y = √(3)-2

7STEP 7

가운데 십자 넓이

가운데 십자 모양의 넓이를 구합니다.

2(2√(3)-1) - 1 = 4√(3) - 3 ≈ 3.93

8STEP 8

모서리 조각 넓이

모서리 조각 하나의 넓이를 구합니다.

(√(3)-1)(2-√(3)) = 2√(3) - 3 - 2 + √(3) = 3√(3) - 5 ≈ 0.196

9STEP 9

모두 더하고 읽기

세 수를 더하면 마이너스 4입니다.

16√(3) - 23 → m+n+p = 16 + 3 - 23 = -4 → (B)

정답

-4

세 가지 점검. (1) 열두 꼭짓점을 반시계 방향으로 — (0,1-√(3)), (1,1-√(3)), (3-√(3),√(3)-2), (√(3),0), (√(3),1), (3-√(3),3-√(3)), (1,√(3)), (0,√(3)), (√(3)-2,3-√(3)), (1-√(3),1), (1-√(3),0), (√(3)-2,√(3)-2) — 놓고 신발끈 공식을 쓰면 4.712812921102037이 나오고, 16√(3)-23 = 4.712812921102037. 자릿수 전부가 일치하므로 조각내기에서 빠뜨린 넓이가 없음. (2) 크기 점검: 도형은 한 변 2√(3)-1 ≈ 2.46, 넓이 ≈ 6.07 인 정사각형 안에 들어가고, 십자 모양이 그 상자의 약 78% 를 채우는 것은 납득할 만함. (3) 함정 점검: 볼록껍질은 바깥 끝점 여덟 개를 지나는 팔각형이고 그 넓이는 정확히 (4√(3)-3) + 4(2-√(3)) = 5. 파인 네 곳이 28-16√(3) ≈ 0.287을 덜어내고 5 - 0.287 = 4.713으로 맞아떨어짐. 볼록껍질을 재면 딱 떨어지는 5가 나오는데, 이는 진짜 무리수 항이 있는 m√(n)+p 꼴이 아니므로 파인 곳을 빼면 안 된다는 신호. 답은 m+n+p = -4, 선택지 (B).

💡핵심 정리

이 AMC 12 마지막 문제는 8학년 좌표기하로 풀려요 — 한 변 1 인 정육각형은 폭이 √(3) 이라서 정사각형을 덮고 반대편으로 √(3)-1 만큼 튀어나옵니다. 가운데 십자 (4√(3)-3)에 모서리 조각 (3√(3)-5) 네 개를 더하면 16√(3)-23. 파인 네 곳을 꼭 남기고, 묻는 건 넓이가 아니라 m+n+p = -4 라는 것도 잊지 마세요.

정사각형을 좌표에 올리기
한 변 1인 정육각형 재기
네 육각형을 모두 적어두기
12개 바깥 꼭짓점 찾기
만나는 두 변의 직선의 식
안쪽을 향한 꼭짓점 구하기
가운데 십자 모양의 넓이
모서리 조각 하나의 넓이
모두 더하고 m, n, p 읽기