AMC 10 · 2024 · #12

학년 12 algebrageometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation
complex-polar-formsine-area-formulacomplex-numbersarea-triangles identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: complex-numbersarea-trianglestrigonometric-ratios
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
복소수 z가 원점 중심 반지름 2인 원 위에 있고, 실수부가 1보다 크고 허수부가 양수인 부분에 놓여 있습니다. 원점과 처음 세 거듭제곱 z, z제곱, z세제곱이 네 점을 이루고, 그 순서로 읽으면 넓이 15인 사각형의 꼭짓점이 됩니다. z의 허수부를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{3}{4}$
(B)
1
(C)
$\frac{4}{3}$
(D)
$\frac{3}{2}$
(E)
$\frac{5}{3}$
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

일반적인 사각형에는 바로 쓸 수 있는 넓이 공식이 없으므로 풀이 전체를 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 이끕니다. 원점에서 z²으로 대각선을 그으면 영역이 삼각형 둘로 갈라지는데, 놀랍게도 두 삼각형 모두 꼭지점이 원점이고 그 각이 같습니다. 사인 값 하나로 둘 다 잴 수 있다는 뜻입니다. 거기까지 가려면 도구 #4(변수 도입하기)가 필요합니다. |z| = 2가 크기를 묶어 두므로 남은 자유는 방향뿐이고, 그 방향에 θ라는 이름을 붙이면 미지수가 하나로 줄어듭니다. 도구 #1(그림 그리기)은 장식이 아닙니다. 꼭짓점들이 주어진 순서대로 정말 바깥으로 펼쳐진다는 사실을 확인하는 단계이고, 그것이 삼각형 둘로 쪼개도 된다는 근거가 됩니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 주어진 넓이를 sinθ에 대한 방정식 하나로 바꿉니다. 마무리는 도구 #3(가능성 지우기)입니다. 사인 값 하나는 각을 두 개 지목하는데, 그중 둔각을 버리게 하는 것이 Re z ＞ 1 조건입니다.

1STEP 1

z가 도는 각에 이름 붙이기

실수부 조건이 각을 0도와 60도 사이로 가둡니다.

z = 2(cosθ + isinθ), Im z = 2sinθ, Re z = 2cosθ ＞ 1 ⇔ cosθ ＞ 1/2 ⇔ 0° ＜ θ ＜ 60°
2STEP 2

거듭제곱이 부채꼴로 펼쳐지기

크기는 2, 4, 8로 커집니다.

|z| = 2, |z²| = 4, |z³| = 8; arg z = θ, arg z² = 2θ, arg z³ = 3θ; 0° ＜ θ ＜ 2θ ＜ 3θ ＜ 180°
3STEP 3

원점에서 대각선으로 자르기

두 삼각형의 넓이 합이 20 사인 세타입니다.

[0 z z²] = 1/2 · 2 · 4 sinθ = 4sinθ, [0 z² z³] = 1/2 · 4 · 8 sinθ = 16sinθ, 넓이 = 4sinθ + 16sinθ = 20sinθ
4STEP 4

넓이를 15와 같다고 놓기

사인 세타는 4분의 3입니다.

20sinθ = 15 ⟹ sinθ = 15/20 = 3/4
5STEP 5

허수부 읽어내기

허수부는 2 곱하기 4분의 3, 곧 2분의 3입니다.

Im z = 2sinθ = 2 · 3/4 = 3/2, Re z = 2cosθ = 2 · √(7)/4 = √(7)/2 ＞ 1 (D)
정답
3/2
풀이의 공식을 쓰지 말고 수를 직접 만들어 사각형을 재 봅니다. z = √(7)/2 + 3/2i로 두고 곱해 보면 z² = -1/2 + 3√(7)/2i, z³ = -5√(7)/2 + 9/2i이고, 그 크기는 √(1/4 + 63/4) = 4와 √(175/4 + 81/4) = 8로 요구된 값과 정확히 맞습니다. 이제 (0,0), (√(7)/2, 3/2), (-1/2, 3√(7)/2), (-5√(7)/2, 9/2)에 이 순서대로 신발끈 공식을 적용합니다. 원점에 닿는 두 변의 기여는 0이고, z에서 z²으로 가는 변이 21/4 + 3/4 = 6, z²에서 z³으로 가는 변이 -9/4 + 105/4 = 24를 내어 합이 30이므로 넓이는 30/2 = 15로 정확히 떨어집니다. 크기 감각도 맞습니다. θ는 (0°, 60°)에 갇혀 있어 sinθ ＜ √(3)/2이므로 넓이는 10√(3) ≈ 17.3을 넘을 수 없습니다. 15는 들어가지만 아슬아슬하게 들어가는데, 부채가 한껏 벌어진 그림과 잘 맞습니다. 마지막으로 넓이가 20sinθ = 10 Im z이므로 다섯 선택지는 각각 넓이 15/2, 10, 40/3, 15, 50/3에 대응하고, 15에 닿는 것은 (D)뿐입니다.
💡핵심 정리

z를 곱하면 모든 점이 같은 각만큼 돌고 같은 배율로 늘어나므로, 사각형은 원점에서 같은 각을 공유하는 삼각형 둘로 쪼개지고 넓이는 정확히 z의 허수부의 열 배가 됩니다.

  • z가 도는 각에 이름 붙이기
  • 거듭제곱이 부채꼴로 펼쳐지는 모습
  • 원점에서 대각선으로 자르기
  • 넓이를 15와 같다고 놓기
  • 허수부 읽어내기

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