AMC 10 · 2024 · #19

학년 11 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

rotation-isometrysine-area-formulaequilateral-triangletrigonometric-ratios identify-subproblemsconvert-to-algebrasymmetry-argument ↑ 선수 지식: equilateral-trianglearea-trianglestrigonometric-ratios

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

한 변이 14인 정삼각형 ABC를 자기 중심 둘레로 각 세타만큼 돌려 또 다른 정삼각형 DEF에 포갭니다. 여기서 세타는 0도보다 크고 60도보다 작습니다. 여섯 꼭짓점을 A, D, B, E, C, F 순서로 이으면 육각형이 되고, 그 육각형의 넓이가 91 루트 3입니다. 탄젠트 세타를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{3}{4}$

(B)

$\frac{5\sqrt{3}}{11}$

(C)

$\frac{4}{5}$

(D)

$\frac{11}{13}$

(E)

$\frac{7\sqrt{3}}{13}$

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

이 육각형에는 전용 넓이 공식이 없으므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 핵심 역할을 한다. 중심 O와 여섯 꼭짓점을 이으면 육각형은 두 변의 길이가 이미 아는 값으로 같은 삼각형 여섯 개로 분해된다. 그 분해를 정당화하는 것이 도구 #17(공간 상상하기)이다. 중심을 축으로 한 회전이 여섯 꼭짓점을 하나의 원 위로 미끄러뜨린다는 것을 보면, 그 여섯 변이 모두 외접원의 반지름 R임을 알 수 있다. 도구 #4(변수 도입하기)로 여섯 개의 중심각을 θ로 나타내고, 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 각 조각을 1/2R²sin(각)으로 바꾸면 주어진 넓이가 하나의 방정식이 된다. 마무리는 도구 #15(다르게 정리하기)다. sinθ+sin(120^°-θ)를 각을 옮긴 하나의 사인으로 다시 쓰면 움직이는 두 덩어리가 하나로 합쳐진다.

1STEP 1

여섯 꼭짓점을 한 원 위에 놓기

두 삼각형이 같은 외접원을 씁니다.

R=14/√(3)=14√(3)/3, R²=196/3

2STEP 2

중심에서 육각형을 부채처럼 가르기

육각형이 여섯 조각으로 갈립니다.

[ADBECF]=[OAD]+[ODB]+[OBE]+[OEC]+[OCF]+[OFA]

3STEP 3

여섯 개의 중심각 재기

각은 세타와 120도 빼기 세타가 번갈아 나옵니다.

∠ AOD=∠ BOE=∠ COF=θ, ∠ DOB=∠ EOC=∠ FOA=120^°-θ

4STEP 4

각 조각을 사인으로 바꾸기

넓이가 두 사인의 합에 비례합니다.

[ADBECF]=3/2R²(sinθ+sin(120^°-θ))=98(sinθ+sin(120^°-θ))

5STEP 5

주어진 넓이 대입하기

넓이를 넣으면 사인의 합이 결정됩니다.

sinθ+sin(120^°-θ)=91√(3)/98=13√(3)/14

6STEP 6

두 사인을 하나로 접기

합치면 사인 세타 더하기 30도가 14분의 13입니다.

√(3)sin(θ+30^°)=13√(3)/14 ⟹ sin(θ+30^°)=13/14

7STEP 7

코사인을 되찾고 탄젠트로 넘어가기

피타고라스로 코사인을 되찾습니다.

cos(θ+30^°)=3√(3)/14, tan(θ+30^°)=13/3√(3)=13√(3)/9

8STEP 8

30도 이동을 되돌리기

덧셈정리를 되돌리면 11분의 5 루트 3입니다.

tanθ=(t-tan 30^°)/(1+ttan 30^°)=10√(3)/9/22/9=10√(3)/22=5√(3)/11 → (B)

정답

5√(3)/11

서로 독립적인 세 가지 확인이 모두 일치한다. 첫째, 크기다. θ→ 0^°이면 두 삼각형이 겹쳐져 육각형이 삼각형 하나로 줄고 넓이는 √(3)/4 · 14²=49√(3)이며, θ=60^°이면 여섯 점이 균등하게 배치되어 육각형이 정육각형이 되고 넓이는 6·1/2R²sin 60^°=98√(3)이다. 주어진 91√(3)은 그 사이에 있고, 0 ＜ θ ＜ 60^°에서 √(3)sin(θ+30^°)이 순증가하므로 조건을 만족하는 θ는 정확히 하나다. 둘째, 여기서 나오는 θ 자체의 값은 sinθ=5√(3)/14, cosθ=11/14인데 피타고라스 검사를 통과한다. 75/196+121/196=196/196=1이고 둘의 비는 5√(3)/11로 (B)와 같다. 셋째, 수치로 보면 θ=arcsin13/14-30^°≈ 38.21^°이므로 98(sin 38.21^°+sin 81.79^°)≈ 98(0.6186+0.9897)≈ 157.62이고 91√(3)≈ 157.62이다. 나머지 네 선택지를 tanθ에 넣으면 육각형 넓이가 91√(3)에서 약 1%에서 3%씩 빗나가므로 맞는 것은 (B)뿐이다.

💡핵심 정리

중심을 축으로 삼각형을 돌리면 여섯 꼭짓점이 모두 한 원 위에 남으니, 육각형을 중심에서 여섯 조각으로 자르면 각 조각이 1/2R²sin(그 각)이 되고 문제 전체가 사인 방정식 하나로 줄어든다.

여섯 꼭짓점을 한 원 위에 놓기
중심에서 육각형을 부채처럼 가르기
여섯 개의 중심각 재기
각 조각을 사인으로 바꾸기
주어진 넓이 대입하기
두 사인을 하나로 접기
코사인을 되찾고 탄젠트로 넘어가기
30^° 이동을 되돌리기