AMC 10 · 2024 · #6

학년 8 number-theory

유형 Base-Representation Digit Count └ 세부 유형 Power-of-Base Extraction

base-conversionprime-factorizationexponentsdigit-counting easier-related-problembound-inequality-then-enumerateidentify-subproblems ↑ 선수 지식: exponentsplace-valuebase-conversion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

수 5 곱하기 10의 13제곱을 10진법이 아니라 5진법으로 적습니다. 그 5진법 표기의 자릿수가 몇인지 세세요. 문제는 로그 10 밑의 5가 약 0.7이라는 어림값을 충분한 근사로 제시합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

열네 자리 수를 손으로 5진법으로 바꾸는 일은 불가능해 보인다. 그런데 5×10¹³ 안에는 5가 숨어 있다. 10 = 2 × 5이기 때문이다. 이를 2¹³ × 5¹⁴로 다시 쓰면 거대한 수가 '작은 수 곱하기 5의 거듭제곱'으로 바뀌고, 5의 거듭제곱을 곱하는 것은 5진법 수의 끝에 0을 붙이는 일일 뿐이다. 그러면 문제는 네 자리 수 하나의 5진법 자릿수를 세는 일로 줄어들고, 두 줄이면 끝난다. 먼저 자릿수를 d라고 이름 붙이면 '몇 자리인가'라는 물음이 5의 두 거듭제곱 사이에 끼인다는 조건으로 정확해져서, 로그를 전혀 쓰지 않아도 된다.

1STEP 1

자릿수를 거듭제곱으로 바꾸기

자릿수는 수를 5의 거듭제곱 사이에 끼우면 나옵니다.

5^d-1 ≤ N ＜ 5^d

2STEP 2

10을 2와 5로 쪼개기

10의 13제곱은 2와 5의 13제곱입니다.

N = 5 × 10¹³, 10¹³ = (2 × 5)¹³ = 2¹³ × 5¹³

3STEP 3

5의 인수를 한데 모으기

수는 8192 곱하기 5의 14제곱이 됩니다.

N = 5 × 2¹³ × 5¹³ = 2¹³ × 5¹⁴ = 8192 × 5¹⁴

4STEP 4

5의 거듭제곱은 0만 붙인다

5의 14제곱은 0을 열넷 붙일 뿐입니다.

d = (8192의 5진법 자릿수) + 14

5STEP 5

8192를 끼워 넣기

8192는 5의 5제곱과 6제곱 사이라 여섯 자리입니다.

5⁵ = 3125 ≤ 8192 ＜ 15625 = 5⁶

6STEP 6

밀린 자리 다시 더하기

6 더하기 14는 20자리입니다.

d = 6 + 14 = 20, 5¹⁹ ≤ 5 × 10¹³ ＜ 5²⁰

정답

부등식을 실제 수로 확인해 보자. 5¹⁹ = 19,073,486,328,125 ≈ 1.9×10¹³이고 5²⁰ = 95,367,431,640,625 ≈ 9.5×10¹³인데, 5×10¹³은 정말 이 둘 사이에 있으므로 20자리가 맞다. 실제 5진법 표현으로도 확인된다. 8192를 5진법으로 적으면 230232인데, 2(3125)+3(625)+0(125)+2(25)+3(5)+2 = 8192이기 때문이다. 따라서 5×10¹³의 5진법 표현은 230232 뒤에 0이 14개 붙은 것이고 6 + 14 = 20자리이다. 크기 감각으로도 맞다. 5진법의 한 자리는 10진법 한 자리의 약 0.7만큼만 담으므로 크기가 10¹3.7인 수는 대략 13.7/0.7 ≈ 19.6자리가 필요하고, 자릿수는 그보다 큰 첫 정수인 20이 된다. 보기 (B)와 일치한다.

💡핵심 정리

5진법 자릿수를 세려면 그 수가 이웃한 어느 두 5의 거듭제곱 사이에 있는지 찾으면 된다. 작은 쪽 지수에 1을 더한 값이 자릿수이다.

자릿수를 거듭제곱으로 바꾸기
10을 2와 5로 쪼개기
5의 인수를 한데 모으기
5의 거듭제곱은 0만 붙인다
8192를 5의 거듭제곱 사이에 끼우기
밀린 자리 다시 더하기