AMC 10 · 2025 · #12

학년 10 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid
spatial-visualizationarea-rectanglesthirty-sixty-ninety-triangle identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: area-rectangles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
길이 3피트인 와이퍼 팔이 평평한 수직 앞유리의 한 점 A에 고정되어 있습니다. 팔은 전체 60도 각을 왕복하며 A를 지나는 수직선을 기준으로 대칭이라 좌우로 최대 30도씩 기웁니다. 길이 3.5피트인 곧은 고무 날이 팔의 끝점 B에 날의 중점에서 붙어 있습니다. 날은 절대 돌지 않고 내내 수직을 유지한 채 B가 호를 따라 움직이는 대로 실려 갑니다. 날이 닦는 유리 넓이를 제곱피트 단위로 소수 둘째 자리까지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
9.68
(B)
10.14
(C)
10.50
(D)
11.32
(E)
12.00
풀이 과정
전략 공간 상상하기

이 문제의 성패는 움직임을 정확히 머릿속에 그리는 데 달려 있다. 우리가 본 자동차 와이퍼는 날이 팔과 함께 돌아가고, 그 이미지대로라면 휘어진 고리 모양이 쓸린다. 그런데 이 문제의 날은 수직을 유지하라고 정해져 있으므로, 곧은 수직 막대가 기울지 않은 채 호를 따라 옆으로 실려 가는 모습을 떠올려야 한다. 그 그림을 붙잡고 나면, 쓸린 도형을 재는 자연스러운 방법은 휘어진 경계선을 쫓는 것이 아니라 수직선으로 잘라 보는 것이다. 수직선 하나마다 날의 한 조각과 만나고 그 날의 길이는 언제나 같기 때문이다. 그러면 휘어진 띠가 사실은 직사각형이라는 것이 드러나고, 넓이는 곱셈 한 번으로 끝난다.

1STEP 1

날은 실려 갈 뿐 돌지 않는다

날은 돌지 않고 실려만 갑니다.

A=(0,0), AB = 3, 1/2 · 3.5 = 1.75
2STEP 2

기울기 각에 이름을 붙여 B의 위치 찾기

B의 가로 위치는 마이너스 1.5에서 1.5까지 훑습니다.

B(θ) = (3sinθ, 3cosθ), -30^° ≤ θ ≤ 30^°, x_B ∈ [-1.5, 1.5]
3STEP 3

영역을 수직선으로 자르기

영역을 세로선으로 자릅니다.

닦인 영역 = {(x,y) : -1.5 ≤ x ≤ 1.5, √(9-x²)-1.75 ≤ y ≤ √(9-x²)+1.75}
4STEP 4

모든 조각의 길이가 같다

모든 조각의 길이가 똑같이 3.5입니다.

(√(9-x²)+1.75)-(√(9-x²)-1.75) = 3.5 (모든 x ∈ [-1.5, 1.5]에 대해)
5STEP 5

가로와 세로를 곱하기

가로 3 곱하기 세로 3.5는 10.50입니다.

넓이 = 3 × 3.5 = 10.5 = 10.50 제곱피트
정답
10.50
값의 크기가 그럴듯하다. 날은 길이가 3.5피트이고 폭 3피트인 띠를 벗어나지 않으므로, 닦인 넓이는 그 띠를 감싸는 상자의 넓이를 넘을 수 없다. 가장 낮게 내려간 지점부터 가장 높게 올라간 지점까지의 상자는 3피트 곱하기 약 3.90피트, 즉 약 11.71제곱피트다. 우리가 얻은 10.50은 그 바로 아래에 놓이는데, 상자 안에서 휘어진 도형이라면 당연한 결과다. 이 결과는 함정도 설명해 준다. 만약 날이 수직을 유지하지 않고 팔과 함께 돌았다면 쓸린 도형은 안쪽 반지름 3-1.75=1.25, 바깥쪽 반지름 3+1.75=4.75인 고리의 60^° 조각이 되어 1/6π(4.75²-1.25²) = 3.5π ≈ 11.00제곱피트인데, 이 값은 다섯 선택지 어디에도 없다. 이 어긋남은 '수직을 유지한다'는 문구가 실제로 큰 역할을 한다는 것을 확인해 준다. 마지막으로 왕복 각도 맞아떨어진다. B의 양 끝 위치는 서로 3피트 떨어져 있고 각각 A에서 3피트이므로 삼각형 ABB'는 정삼각형이고, 이는 60^° 왕복이 만들어 내야 할 모습 그대로다.
💡핵심 정리

돌지 않고 미끄러지듯 옮겨 가는 물체가 쓸어낸 도형은, 그 물체가 놓인 방향과 똑같이 잘라 보라. 모든 조각의 길이가 같다면 사실 그것은 직사각형이다.

  • 날은 실려 갈 뿐 돌지 않는다
  • 기울기 각에 이름을 붙여 B의 위치 찾기
  • 영역을 수직선으로 자르기
  • 모든 조각의 길이가 같다
  • 가로와 세로를 곱하기

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