AMC 8 · 2003 · #25

학년 8 geometry-2d

유형 Paper Fold-and-Cut Symmetry └ 세부 유형 Fold Maps One Named Point Onto Another

reflection-symmetrypaper-foldingisosceles-trianglearea-trianglesspatial-visualization reflection-unfoldingphysical-representationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglesreflection-symmetryperfect-squares

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

정사각형 WXYZ 의 넓이가 25 cm² 이므로 한 변의 길이는 5 cm 입니다. 큰 사각형 둘레의 네 모서리에는 한 변이 1 cm 인 작은 정사각형 네 개가 놓여 있고, 선분 BC 는 변 WZ 바로 바깥에서 수직으로 서 있습니다. 삼각형 ABC 는 AB = AC 인 이등변삼각형이며, BC 를 따라 접으면 A 가 정사각형 WXYZ 의 중심 O 위에 정확히 포개집니다. △ ABC 의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{15}4$

(B)

$\frac{21}4$

(C)

$\frac{27}4$

(D)

$\frac{21}2$

(E)

$\frac{27}2$

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 문제는 그림 자체가 모든 정보입니다. 그래서 도구 #1(그림 그리기)을 먼저 꺼냅니다. 좌표축을 그림 위에 얹어 두면, 우리가 필요한 길이는 모두 좌표의 차이가 됩니다. 좌표가 정해지면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 자연스럽게 따라옵니다. 큰 질문(넓이)을 두 개의 작은 질문으로 나누는 거죠. (가) 밑변 BC 의 길이 — 큰 정사각형의 한 변 5 에서 위·아래의 1 cm 씩을 깎으면 끝. (나) 높이 — 접기 조건을 쓰면 됩니다. 접기는 8학년 "반사" 개념의 핵심: 직선 BC 가 AO 의 수직이등분선이므로, A 에서 BC 까지의 거리(=삼각형의 높이)는 O 에서 BC 까지의 거리와 같습니다. 이 거리는 좌표에서 바로 읽힙니다. 곱하고 반으로 나누면 끝.

1STEP 1

정사각형을 좌표에 얹으면 Z=(0,0), X=(5,5), 중심 O=( $\frac{5}{2}$ , $\frac{5}{2}$ ); 세로 밑변은 B=(-2,4), C=(-2,1).

Z=(0,0), W=(0,5), X=(5,5), Y=(5,0); O=(

\frac{5}{2}

\frac{5}{2}

); B=(-2,4), C=(-2,1)

2STEP 2

작은 문제 (가): B 와 C 의 x 좌표가 같아 BC 는 수직이고, 5 cm 변에서 위·아래 1 cm 씩 깎여 BC = 3.

BC = y_B - y_C = 4 - 1 = 3 cm

3STEP 3

작은 문제 (나): 접으면 BC 가 AO 의 수직이등분선이 되어, 삼각형의 높이는 O 에서 직선 BC 까지의 거리와 같다.

접기 A → O → BC 는 AO 의 수직이등분선 → h = dist(A,BC) = dist(O,BC)

4STEP 4

밑변 직선은 x = -2, O 는 x = $\frac{5}{2}$ 이므로 높이는 $\frac{5}{2}$ - (-2) = $\frac{9}{2}$ .

h = dist(O,BC) =

\frac{5}{2}

- (-2) =

\frac{5}{2}

+ 2 =

\frac{9}{2}

5STEP 5

밑변 3 과 높이 $\frac{9}{2}$ 를 넓이 공식에 넣으면 $\frac{1}{2}$ · 3 · $\frac{9}{2}$ = $\frac{27}{4}$ → (C).

[△ ABC] =

\frac{1}{2}

· BC · h =

\frac{1}{2}

· 3 ·

\frac{9}{2}

\frac{27}{4}

→ (C)

정답

\frac{27}{4}

크기를 확인해 봅니다. 접기가 A 를 O 위로 옮기므로, A 는 BC 의 반대편에 O 와 같은 거리만큼 떨어진 자리에 있어야 합니다. O 가 x =

\frac{5}{2}

에 있고 접는 선이 x = -2 이므로, A 는 x = -2 -

\frac{9}{2}

\frac{-13}{2}

— 작은 정사각형 띠보다 훨씬 왼쪽에 위치합니다. 이는 A 가 작은 정사각형들 바깥쪽으로 멀리 그려진 문제 그림과 정확히 맞아떨어집니다. 넓이 자체로 확인하면, 밑변 3 과 높이

\frac{9}{2}

가 만드는 넓이는

\frac{1}{2}

· 3 ·

\frac{9}{2}

\frac{27}{4}

= 6.75 cm² — 3 cm 밑변에 4.5 cm 정도 높이의 삼각형으로 매우 자연스러운 값입니다. (A)

\frac{15}{4}

= 3.75, (B)

\frac{21}{4}

= 5.25 는 높이가 4 보다 작아야 하므로 그림과 맞지 않고, (D)

\frac{21}{2}

= 10.5, (E)

\frac{27}{2}

= 13.5 는 높이가 전체 도형보다 커지므로 불가. 답은 (C) 뿐입니다.

💡핵심 정리

BC 를 따라 A 를 접어 O 위에 포갠다는 것은, A 와 O 가 접는 선을 사이에 둔 거울상이라는 뜻이에요. 그래서 삼각형의 높이는 O 에서 BC 까지의 거리와 같습니다. 그림에서 밑변 3 과 높이 $\frac{9}{2}$ 를 바로 읽어 넓이는 $\frac{1}{2}$ · 3 · $\frac{9}{2}$ = $\frac{27}{4}$ .

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