AMC 8 · 2015 · #10

학년 5 counting

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count

permutations-basicdigit-constraintsplace-value systematic-enumerationdigit-constraints ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticplace-value

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

1000 이상 9999 이하의 정수 중에서 네 자리 숫자가 모두 서로 다른 — 즉 같은 숫자가 두 번 등장하지 않는 — 수가 몇 개인지 세는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

3024

(B)

4536

(C)

5040

(D)

6480

(E)

6561

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

4 자리 수는 결국 천·백·십·일의 네 칸을 채우는 일입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "한 자리씩 독립적으로 고른다" 는 네 개의 하위 문제로 나누면, 각 칸의 경우의 수를 곱해 답이 나옵니다(곱의 법칙). 그 곱셈이 맞다는 걸 확인하기 위해 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 먼저 2 자리 버전을 직접 세어 보고, 같은 논리를 4 자리로 확장합니다.

1STEP 1

2 자리 버전으로 워밍업 — 십의 자리 9 가지 × 일의 자리 9 가지 = 81, 곱셈 논리가 통함을 확인합니다.

9 × 9 = 81 (두 자리 distinct-digit 개수)

2STEP 2

칸 1 (천의 자리) — 앞자리에 0 이 금지라 10 이 아닌 9 가지입니다.

천의 자리 경우의 수 = 9

3STEP 3

칸 2 (백의 자리) — 천의 자리만 빼면 되고 0 도 가능하므로 10 - 1 = 9 가지.

백의 자리 경우의 수 = 10 - 1 = 9

4STEP 4

칸 3 (십의 자리) — 이미 쓴 2 개와 달라야 하므로 10 - 2 = 8 가지.

십의 자리 경우의 수 = 10 - 2 = 8

5STEP 5

칸 4 (일의 자리) — 이미 쓴 3 개와 달라야 하므로 10 - 3 = 7 가지.

일의 자리 경우의 수 = 10 - 3 = 7

6STEP 6

곱의 법칙 — 네 칸의 경우의 수를 모두 곱합니다. 9 × 9 × 8 × 7 = 4536 → (B).

9 × 9 × 8 × 7 = 81 × 56 = 4536 → (B)

정답

4536

검산 — 자릿수 제한 없이 모든 4 자리 수는 9 × 10 × 10 × 10 = 9000 개입니다. 우리의 답 4536 은 그 절반쯤이라, distinct-digit 조건을 단 결과로 자연스럽습니다. 일의 자리 끝자리 검사도 일치 — 9 × 9 × 8 × 7 의 끝자리는 1 × 6 = 6 이고, 보기 중 끝자리가 6 인 것은 (B) 4536 뿐입니다. (A) 3024 와 (C) 5040 은 각각 9 × 8 × 7 × 6 과 10 × 9 × 8 × 7 — 앞자리 0 규칙을 빠뜨리거나 두 번 적용한 흔한 함정 답입니다.

💡핵심 정리

복잡한 세기 문제도 "한 칸에 한 가지 선택" 으로 쪼개 곱하면 풀려요 — 5학년 수식 평가 수준의 기술입니다.

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