AMC 10 · 2006 · #11

쉬운 모드 학년 5

문제

$n!$ 기호는 $1$ 부터 $n$ 까지의 모든 자연수를 곱한 것을 뜻합니다. 예를 들어 $4! = 1\times 2\times 3\times 4 = 24$ 입니다. $7!$ 부터 $2006!$ 까지의 모든 계승을 더합니다. 즉 $7!+8!+9!+\cdots+2006!$ 을 구합니다. 이 합의 십의 자리 숫자(오른쪽에서 두 번째 숫자)는 무엇인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $7!$부터 $2006!$까지의 모든 계승을 더한다. 즉 $7!+8!+9!+\cdots+2006!$이다. 이 거대한 합의 십의 자리 숫자는 무엇인가?

주어진 것: 합은 $7$부터 $2006$까지 모든 자연수에 대해 이루어진다: $7!+8!+9!+\cdots+2006!$; 계승 $n!$은 곱 $1\times 2\times 3\times\cdots\times n$을 뜻한다; 구하려는 것은 합 전체가 아니라 그 십의 자리 숫자뿐이다; 선택지: (A) $1$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $6$, (E) $9$

구하는 것: 전체 합의 십의 자리 숫자(오른쪽에서 두 번째 자리)

이해

문제 재정리: $7!$부터 $2006!$까지의 모든 계승을 더한다. 즉 $7!+8!+9!+\cdots+2006!$이다. 이 거대한 합의 십의 자리 숫자는 무엇인가?

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #16 관점 바꾸기

합은 수천 자리 수인 $2006!$까지 뻗어 있으므로, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 핵심이다 — 십의 자리 숫자만 물으므로 거의 모든 항을 버릴 수 있어 문제가 아주 작은 합으로 줄어든다. 도구 #5(패턴 찾기)는 왜 줄어드는지를 설명한다 — 계승은 커질수록 뒤에 붙는 $0$이 점점 늘어나므로, $10!$부터는 각 항이 $00$으로 끝나 십의 자리에 영향을 줄 수 없다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 매 단계에서 마지막 두 자리에만 집중하게 하여, 거대한 곱셈이나 덧셈이 전혀 필요 없게 한다.

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.B.4 단계 1

$10!$이 두 개의 $0$으로 끝나는 이유

어떤 수가 두 개의 $0$으로 끝나는 것은 그 수가 $100=4\times 25$의 배수일 때이다.
$10!=1\times2\times3\times\cdots\times10$을 보자.
그 인수 중에는 $5$와 $10$이 있어 $25$에 필요한 두 개의 $5$를 함께 공급하고, 짝수 인수($2,4,6,8$)가 충분히 많아 $4$를 공급한다.
따라서 $10!$은 $100$의 배수이다.
실제로 $10!=3628800$이며 $00$으로 끝난다.

$$10!=3628800\equiv 00 \pmod{100}$$

💡 곱이 $10$ 하나와 짝수들에 짝지어진 또 다른 $5$를 모으면, 그 곱은 반드시 두 개의 $0$으로 끝난다.

#5 패턴 찾기 5.NBT.A.2 단계 2

더 큰 계승은 모두 그 $0$들을 유지한다

$10!$보다 큰 각 계승은 $10!$에 더 많은 자연수를 곱한 것일 뿐이다: $11!=11\times10!$, $12!=12\times11\times10!$, 이런 식으로 $2006!$까지 이어진다.
이미 $00$으로 끝나는 수에 어떤 자연수를 곱해도 그것은 여전히 $00$으로 끝난다.
따라서 $10!,11!,12!,\ldots,2006!$은 모두 $00$으로 끝나며, 그중 어느 것도 합의 십의 자리나 일의 자리를 바꾸지 못한다.

$$n!=n\times(n-1)\times\cdots\times11\times 10!\equiv 00\pmod{100}\quad(n\ge 10)$$

💡 자연수를 곱해도 뒤에 붙은 $0$은 절대 사라지지 않으므로, 한 항이 $00$으로 끝나면 영원히 무해하게 남는다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NBT.B.5 단계 3

의미 있는 세 항만 남기기

$10!$부터의 모든 항이 $00$으로 끝나므로, 전체 합의 십의 자리 숫자는 $10!$보다 작은 항들, 곧 $7!$, $8!$, $9!$만으로 결정된다.
이들을 계산하면 $7!=5040$, $8!=8\times5040=40320$, $9!=9\times40320=362880$이다.

$$7!=5040,\quad 8!=40320,\quad 9!=362880$$

💡 $00$으로 끝나는 항을 모두 버리면 $2000$개짜리 합이 단 세 개의 수로 줄어든다.

#16 관점 바꾸기 5.NBT.A.1 단계 4

마지막 두 자리만 더하기

십의 자리 숫자를 찾으려면 남은 각 항의 마지막 두 자리만 보면 된다: $7!$은 $40$으로, $8!$은 $20$으로, $9!$은 $80$으로 끝난다.
이들을 더하면 $40+20+80=140$이고, 이 수 자체가 $40$으로 끝난다.
따라서 전체 합 $7!+8!+\cdots+2006!$은 $40$으로 끝난다.
십의 자리 숫자는 $40$의 $4$이므로, 답은 (C)이다.

$$40+20+80=140\equiv 40\pmod{100}\;\Rightarrow\;\text{십의 자리}=4\;\textbf{(C)}$$

💡 합의 마지막 두 자리는 부분들의 마지막 두 자리에만 달려 있으므로, 두 자리 덧셈 하나로 모든 것이 결정된다.

[1] #9 4.OA.B.4 어떤 수가 두 개의 $0$으로 끝나는 것은 그 수가 $100=4\times 25$의 배수일 때이다. $10!=1\times2\times3\tim

[2] #5 5.NBT.A.2 $10!$보다 큰 각 계승은 $10!$에 더 많은 자연수를 곱한 것일 뿐이다: $11!=11\times10!$, $12!=12\times11\t

[3] #9 5.NBT.B.5 $10!$부터의 모든 항이 $00$으로 끝나므로, 전체 합의 십의 자리 숫자는 $10!$보다 작은 항들, 곧 $7!$, $8!$, $9!$만으로

[4] #16 5.NBT.A.1 십의 자리 숫자를 찾으려면 남은 각 항의 마지막 두 자리만 보면 된다: $7!$은 $40$으로, $8!$은 $20$으로, $9!$은 $80$으로

검토

합리성 확인: 버린 항들이 정말 안전한지 확인하자: $10!=3628800$은 $00$으로 끝나고, 그 이후의 모든 계승은 $10!$의 배수이므로 역시 $00$으로 끝난다 — 확인되었듯이 이들은 십의 자리에 영향을 줄 수 없다. 남긴 계산을 실제 수와 대조하면 $5040+40320+362880=408240$으로, 정말 $40$으로 끝나고 십의 자리가 $4$여서 지름길과 일치한다. 답 $4$는 선택지 (C)이며 제시된 보기 중 하나이므로 모순이 없다.

대안 접근: 뒤에 붙는 $0$을 추적하는 대신, 처음부터 합 전체를 $100$으로 나눈 나머지로 다룬다. $n\ge 10$인 모든 항은 $n!\equiv 0\pmod{100}$을 만족하므로 $7!+8!+\cdots+2006!\equiv 7!+8!+9!\pmod{100}\equiv 40+20+80\equiv 140\equiv 40\pmod{100}$이다. 나머지 $40$이 십의 자리 숫자 $4$를 주므로 선택지 (C)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite ($10!$이 $100$의 배수가 되게 하는 인수들($5$, $10$, 짝수들)을 포함하여 두 개의 $0$으로 끝남을 인식함.)
5.NBT.A.2 Explain patterns in the number of zeros when multiplying by whole numbers ($10!$ 이후의 모든 계승이 $10!$에 더 많은 자연수를 곱한 것이므로 뒤의 두 $0$을 유지하여 $\equiv 00\pmod{100}$임을 논증함.)
5.NBT.B.5 Fluently multiply multi-digit whole numbers (남은 세 계승 $7!=5040$, $8!=40320$, $9!=362880$을 계산함.)
5.NBT.A.1 Understand place value: identify the tens digit of a number (마지막 두 자리 $40+20+80=140$을 더하고 그 결과 $40$에서 십의 자리 숫자 $4$를 읽음.)

⭐ 마지막 자리들만 중요할 때는 $0$으로 끝나는 수를 모두 버려라 — 여기서는 $10!$부터의 모든 계승이 사라지고 $7!+8!+9!$만 남으며, 이 합이 $40$으로 끝나므로 십의 자리 숫자는 $4$이다.