AMC 10 · 2003 · #16

학년 4 number-theory
유형 Units-Digit Tracking └ 세부 유형 Power Cycle Lookup
units-digit-trackingmodular-arithmetic-mod-10pattern-recognition pattern-recognition ↑ 선수 지식: units-digit-tracking
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문제
13²⁰⁰³의 일의 자리 숫자를 구하라 — 즉 13을 2003번 곱했을 때 마지막에 보이는 한 자리 숫자다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1
(B)
3
(C)
7
(D)
8
(E)
9

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 패턴 찾기

13²⁰⁰³을 손으로 계산하는 것은 불가능하므로, 중요한 한 조각인 일의 자리 숫자만 따라간다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 첫 단계를 자른다: 곱셈에서 곱의 일의 자리 숫자는 곱하는 수들의 일의 자리 숫자에만 달려 있으므로, 13²⁰⁰³은 3²⁰⁰³과 같은 일의 자리 숫자를 가진다. 그러면 13이 훨씬 작은 3으로 바뀐다. 그다음 도구 #5(패턴 찾기)로 거대한 지수를 다룬다: 3¹, 3², 3³, …의 일의 자리 숫자는 짧은 주기로 반복되므로, 2003번 곱하는 대신 2003이 그 주기의 어디에 놓이는지만 찾으면 된다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 결과가 선택지 중 하나임을 확인한다.

1STEP 1

밑의 일의 자리 숫자만 중요하다

곱의 일의 자리는 곱하는 수들의 일의 자리에서만 나오므로 13²⁰⁰³은 3²⁰⁰³과 같은 숫자로 끝난다.

13²⁰⁰³의 일의 자리 = 3²⁰⁰³의 일의 자리
2STEP 2

3의 거듭제곱의 일의 자리 나열하기

3¹=3, 3²=9, 3³=27, 3⁴=81, 3⁵=243이므로 일의 자리는 3, 9, 7, 1이 길이 4의 주기로 반복된다.

3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1_반복, …
3STEP 3

길이 4 주기에서 2003의 위치 찾기

지수를 4로 나누면 2003 = 4 × 500 + 3이므로 나머지는 3, 곧 덩어리의 세 번째 칸이다.

2003 = 4 × 500 + 3 → 나머지 3
4STEP 4

답 읽어내기

덩어리 3, 9, 7, 1의 세 번째 항은 7이므로 13²⁰⁰³은 7로 끝난다 — 선택지 (C).

(3, 9, 7, 1)의 3번째 항 = 7 → (C)
정답
7
확인 방법은 3의 거듭제곱의 일의 자리 숫자로 가능한 값이 정확히 3, 9, 7, 1 네 개뿐이라는 것이다. 따라서 답은 반드시 이 중 하나여야 한다 — 이로써 3의 거듭제곱의 일의 자리가 결코 될 수 없는 (D) 8이 즉시 지워진다. 남은 선택지 중에서, 지수 2003은 4로 나눈 나머지가 3이고, 나머지가 3인 모든 지수(3, 7, 11, …)는 일의 자리 숫자 7을 준다. 작은 경우 3³ = 27로 확인할 수 있는데, 실제로 7로 끝난다. 따라서 (C)는 큰 지수의 우연이 아니라 일관된 결과다.
💡핵심 정리

밑의 마지막 자리만 중요하고, 3의 거듭제곱의 마지막 자리는 3, 9, 7, 1로 돈다; 2003을 4로 나눈 나머지가 3이므로 마지막 자리는 세 번째 것인 7이다.

  • 밑의 일의 자리 숫자만 중요하다
  • 3의 거듭제곱의 일의 자리 나열하기
  • 길이 4 주기에서 2003의 위치 찾기
  • 답 읽어내기

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