AMC 10 · 2009 · #2

쉬운 모드 학년 2

문제

저금통에 페니(1센트), 니켈(5센트), 다임(10센트), 쿼터(25센트)가 들어 있다. 여기서 동전 네 개를 꺼낸다. 같은 종류를 여러 번 골라도 된다. 네 동전의 합(센트)이 절대 될 수 없는 값은 다음 중 무엇인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 저금통에서 동전 $4$개를 꺼낸다. 저금통에는 $1$센트(페니), $5$센트(니켈), $10$센트(다임), $25$센트(쿼터)가 들어 있고 같은 종류를 여러 개 꺼내도 된다. $15$, $25$, $35$, $45$, $55$센트 중 동전 $4$개로 결코 만들 수 없는 총액이 무엇인지 정하여라.

주어진 것: 동전을 정확히 $4$개 꺼낸다; 각 동전은 페니 $1$센트, 니켈 $5$센트, 다임 $10$센트, 쿼터 $25$센트이다; 같은 종류의 동전을 여러 개 꺼내도 된다; 선택지: (A) $15$, (B) $25$, (C) $35$, (D) $45$, (E) $55$

구하는 것: 동전 $4$개로 만들 수 없는 총액이 어느 것인지

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #14 극단의 원리

'만들 수 없는 것'을 고르는 다섯 개짜리 유한한 문제이므로, 자연스러운 방법은 도구 #3이다. 만들 수 있는 총액을 실제로 만들어 지워 나가면 저항하는 하나가 남는다. 다섯 중 넷은 덧셈 한 줄로 만들어진다. 남는 하나에 대해서는 도구 #8(단위 살펴보기)로 동전들을 $5$의 배수로 읽어 페니가 필요함을 보이고, 도구 #14(극단의 원리)로 페니 없는 동전 $4$개가 만들 수 있는 가장 작은 총액을 짚어 그 하나가 닿을 수 없음을 증명한다.

실행 — 정답: A

#8 단위 살펴보기 2.MD.C.8 단계 1

동전 값 적기

각 동전이 센트로 얼마인지 적는다.
페니는 $1$, 니켈은 $5$, 다임은 $10$, 쿼터는 $25$이다.
동전 $4$개를 꺼낸다는 것은 이 값 네 개를 더하는 것이고, 같은 동전을 다시 꺼내도 된다.
할 일은 동전 $4$개로 결코 만들 수 없는 총액 하나를 찾는 것이다.

$$\text{페니}=1,\quad \text{니켈}=5,\quad \text{다임}=10,\quad \text{쿼터}=25$$

💡 각 동전의 센트 값을 알면 동전 문제가 그냥 덧셈으로 바뀐다.

#3 가능성 지우기 2.NBT.B.5 단계 2

나머지 네 총액 만들기

각 선택지를 동전 $4$개로 만들어 본다.
$25=10+5+5+5$, $35=10+10+10+5$, $45=25+10+5+5$, $55=25+10+10+10$이다.
넷 모두 정확히 동전 $4$개로 만들어지므로 (B), (C), (D), (E)는 모두 가능하고 지울 수 있다.

$$25=10+5+5+5,\quad 35=10+10+10+5,\quad 45=25+10+5+5,\quad 55=25+10+10+10$$

💡 실제로 만들 수 있는 총액은 불가능한 그것이 아니므로 지운다.

#8 단위 살펴보기 2.NBT.A.2 단계 3

15는 페니가 0개여야 한다

$15$만 남았다.
니켈, 다임, 쿼터는 모두 $5$씩 뛰어 센 수($5$, $10$, $25$)이므로 이것들만 모으면 $5$로 세는 총액에 떨어진다.
페니만이 $5$의 배수가 아닌 동전이다.
$15$ 자체가 $5$로 세는 수이므로, 쓰인 페니들의 합도 $5$의 배수여야 한다.
동전이 $4$개뿐일 때 그렇게 되는 유일한 경우는 페니를 아예 하나도 쓰지 않는 것이다.

$$5,\,10,\,25\text{는 }5\text{의 배수};\quad 15\text{는 }5\text{의 배수}\ \Rightarrow\ \text{페니 수}=0$$

💡 페니만이 $5$로 세는 리듬을 깰 수 있으므로, $5$로 세는 총액은 페니를 $5$의 배수만큼 써야 한다.

#14 극단의 원리 2.OA.A.1 단계 4

니켈 넷이 벌써 15를 넘는다

페니가 없으면 동전 $4$개는 저마다 적어도 니켈, 즉 $5$센트이다.
그래서 만들 수 있는 가장 작은 총액은 니켈 넷인 $5+5+5+5=20$센트이다.
이는 이미 $15$보다 크므로 $15$는 동전 $4$개로 결코 만들 수 없다.
만들 수 없는 총액은 $15$, 곧 (A)이다.

$$5+5+5+5=20>15\ \Rightarrow\ 15\text{ 불가능}\ \Rightarrow\ \textbf{(A)}$$

💡 페니를 못 쓰면 동전 $4$개는 $20$센트 아래로 내려갈 수 없으므로, $20$ 미만은 모두 닿을 수 없다.

[1] #8 2.MD.C.8 각 동전이 센트로 얼마인지 적는다. 페니는 $1$, 니켈은 $5$, 다임은 $10$, 쿼터는 $25$이다. 동전 $4$개를 꺼낸다는 것은 이 값

[2] #3 2.NBT.B.5 각 선택지를 동전 $4$개로 만들어 본다. $25=10+5+5+5$, $35=10+10+10+5$, $45=25+10+5+5$, $55=25+1

[3] #8 2.NBT.A.2 $15$만 남았다. 니켈, 다임, 쿼터는 모두 $5$씩 뛰어 센 수($5$, $10$, $25$)이므로 이것들만 모으면 $5$로 세는 총액에 떨

[4] #14 2.OA.A.1 페니가 없으면 동전 $4$개는 저마다 적어도 니켈, 즉 $5$센트이다. 그래서 만들 수 있는 가장 작은 총액은 니켈 넷인 $5+5+5+5=20$

검토

합리성 확인: 우리가 만든 네 총액 $25$, $35$, $45$, $55$는 모두 $20$ 이상이고 모두 $5$로 세는 수여서, 이 동전들이 지키는 두 규칙에 들어맞는다. 오직 $15$만 규칙을 깬다. $5$의 배수라 페니를 쓸 수 없는데, 페니 없는 동전 $4$개는 $20$센트에서 시작해 $15$보다 크다. 그래서 $15$가 홀로 남는 답이고, (A)를 확인해 준다.

대안 접근: 쓰는 페니 수로 나눠 본다. 페니 $0$개: $5$센트 이상 동전 $4$개는 합이 적어도 $20$이다. 페니 $1$개: 나머지 $5$의 배수 세 개가 적어도 $15$이므로 합은 적어도 $16$이다. 페니 $2$, $3$, $4$개: 나머지 동전들이 $5$의 배수라 총액이 $5$의 배수보다 $2$, $3$, $4$만큼 커서 결코 $15$가 되지 않는다. 어느 경우도 $15$에 닿지 못하므로 불가능하다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)

2.MD.C.8 Solve word problems involving dollar bills, quarters, dimes, nickels, and pennies (각 동전을 센트 값($1$, $5$, $10$, $25$)으로 읽고, 꺼낸 동전 $4$개를 그 값들의 합으로 다루는 데 사용.)
2.NBT.B.5 Fluently add and subtract within 100 (동전 값 네 개를 더해 $25$, $35$, $45$, $55$를 만들어 가능한 총액에서 지우는 데 사용.)
2.NBT.A.2 Count within 1000, skip-count by 5s, 10s, and 100s (니켈, 다임, 쿼터를 $5$의 배수로 알아보고, $15$처럼 $5$의 배수인 총액은 페니를 $0$개 써야 함을 아는 데 사용.)
2.OA.A.1 Solve one- and two-step word problems using addition and subtraction within 100 (페니 없이 만드는 가장 작은 네 동전 총액 $5+5+5+5=20$을 구하고 $15$와 비교해 $15$가 불가능함을 증명하는 데 사용.)

⭐ 니켈, 다임, 쿼터는 $5$씩만 뛰므로 넷이면 $20$센트에서 시작한다. 페니 없이는 $15$로 내려갈 수 없고, 페니를 쓰면 $5$로 세는 총액에서 벗어나 버린다.