AMC 10 · 2010 · #15

쉬운 모드 학년 2

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문제

어느 늪에 말하는 동물 두 종류가 산다. 두꺼비는 항상 참말을 하고, 개구리는 항상 거짓말을 한다. 브라이언, 크리스, 르로이, 마이크 네 마리가 함께 살고 있으며, 각자 한마디씩 한다.

브라이언: "마이크와 나는 서로 다른 종류이다."

크리스: "르로이는 개구리다."

르로이: "크리스는 개구리다."

마이크: "우리 넷 중 적어도 둘은 두꺼비다."

네 마리 중 개구리는 몇 마리인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 네 마리의 양서류는 각각 두꺼비(하는 말이 항상 참) 또는 개구리(하는 말이 항상 거짓)이다. 브라이언은 자신과 마이크가 서로 다른 종이라고 말하고, 크리스는 르로이가 개구리라고, 르로이는 크리스가 개구리라고, 마이크는 넷 중 적어도 둘은 두꺼비라고 말한다. 넷 중 개구리가 몇 마리인지 구하라.

주어진 것: 두꺼비의 말은 항상 참이고, 개구리의 말은 항상 거짓이다; 브라이언: "마이크와 나는 서로 다른 종이다."; 크리스: "르로이는 개구리다."; 르로이: "크리스는 개구리다."; 마이크: "우리 넷 중 적어도 둘은 두꺼비다."; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$

구하는 것: 네 마리 중 개구리의 수

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기

도구 #3 (가능성 지우기): 각 양서류의 종은 둘 중 하나뿐이므로, 한 종을 가정해 문장이 모순 없이 성립하는지 확인하고 모순을 낳는 경우를 지운다. 도구 #16 (관점 바꾸기): 마이크는 "적어도 둘은 두꺼비"라는 말을 거짓으로 하므로, 쓸모 있는 사실은 그 반대인 "두꺼비는 많아야 하나"이고 이것이 전체 수를 제한한다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기): 먼저 마이크를 정하고, 다음으로 크리스·르로이 쌍을 정한 뒤, 그 부분 결과들을 합쳐 최종 개구리 수를 센다.

실행 — 정답: D

#3 가능성 지우기 1.OA.D.7 단계 1

브라이언의 말이 마이크를 개구리로 확정

브라이언을 두 경우로 살펴본다.
브라이언이 두꺼비이면 그 말은 참이라 마이크와 정말 다른 종이므로 마이크는 개구리다.
브라이언이 개구리이면 그 말은 거짓이라 사실은 마이크와 같은 종인데, 브라이언이 개구리이므로 마이크도 개구리다.
두 경우 모두 결론이 같다.

$$\text{브라이언 두꺼비}\Rightarrow \text{마이크 개구리};\quad \text{브라이언 개구리}\Rightarrow \text{마이크 개구리}$$

💡 브라이언이 어느 종이든 같은 결론에 도달하면 그 결론은 확정된다.

#16 관점 바꾸기 1.OA.A.1 단계 2

마이크의 거짓말이 두꺼비를 하나로 제한

마이크는 개구리이므로 그 말은 거짓이다.
그는 "적어도 둘은 두꺼비"라고 했는데, "적어도 둘"의 반대는 "많아야 하나"다.
따라서 네 마리 중 두꺼비는 많아야 하나다.

$$\lnot(\text{두꺼비}\ge 2)\;\Longleftrightarrow\;\text{두꺼비}\le 1$$

💡 거짓인 "적어도" 문장을 뒤집으면 개수의 확실한 상한이 된다.

#3 가능성 지우기 1.OA.D.7 단계 3

크리스와 르로이: 정확히 하나가 두꺼비

크리스와 르로이는 서로를 개구리라고 지목한다.
크리스가 두꺼비이면 그 말은 참이라 르로이는 개구리이고, 그러면 르로이의 "크리스는 개구리다"는 거짓이 되어 크리스가 두꺼비라는 것과 맞는다.
크리스가 개구리이면 그 말은 거짓이라 르로이는 두꺼비이고, 르로이는 참되게 크리스를 개구리라 부른다.
어느 쪽이든 둘 중 하나는 두꺼비, 다른 하나는 개구리다.

$$(\text{크리스 두꺼비},\ \text{르로이 개구리})\ \text{또는}\ (\text{크리스 개구리},\ \text{르로이 두꺼비})$$

💡 서로 반대되는 두 지목은 둘 다 참이거나 둘 다 거짓일 수 없어, 참말쟁이 하나와 거짓말쟁이 하나로 갈린다.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.OA.A.1 단계 4

사실들을 합쳐 개구리를 세기

3단계에서 크리스와 르로이 중 정확히 하나가 두꺼비이고, 2단계에서 전체 두꺼비는 많아야 하나다.
그러니 그 하나가 유일한 두꺼비이고 나머지는 모두 개구리다.
브라이언은 개구리, 마이크도 개구리(1단계), 그리고 크리스·르로이 중 두꺼비가 아닌 쪽도 개구리다.
즉 개구리 $3$마리, 두꺼비 $1$마리이므로 답은 (D)다.

$$1\ \text{두꺼비} + 3\ \text{개구리} = 4 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}\ 3$$

💡 확실한 두꺼비 하나에 두꺼비 상한 하나가 겹치면 남은 모두가 개구리일 수밖에 없다.

[1] #3 1.OA.D.7 브라이언을 두 경우로 살펴본다. 브라이언이 두꺼비이면 그 말은 참이라 마이크와 정말 다른 종이므로 마이크는 개구리다. 브라이언이 개구리이면 그

[2] #16 1.OA.A.1 마이크는 개구리이므로 그 말은 거짓이다. 그는 "적어도 둘은 두꺼비"라고 했는데, "적어도 둘"의 반대는 "많아야 하나"다. 따라서 네 마리 중

[3] #3 1.OA.D.7 크리스와 르로이는 서로를 개구리라고 지목한다. 크리스가 두꺼비이면 그 말은 참이라 르로이는 개구리이고, 그러면 르로이의 "크리스는 개구리다"는

[4] #7 2.OA.A.1 3단계에서 크리스와 르로이 중 정확히 하나가 두꺼비이고, 2단계에서 전체 두꺼비는 많아야 하나다. 그러니 그 하나가 유일한 두꺼비이고 나머지는

검토

합리성 확인: 완성 배정 브라이언 개구리, 마이크 개구리, 크리스 두꺼비, 르로이 개구리를 검토한다. 브라이언(개구리)의 "마이크와 나는 다른 종"은 거짓인데 둘 다 개구리라 같은 종이므로 올바른 거짓말이다. 크리스(두꺼비)의 "르로이는 개구리"는 참이다. 르로이(개구리)의 "크리스는 개구리"는 거짓이고 크리스는 두꺼비이므로 올바른 거짓말이다. 마이크(개구리)의 "적어도 둘은 두꺼비"는 거짓이고 두꺼비는 하나뿐이다. 모든 문장이 일관되어 개구리 $3$마리가 확인된다. 반대 경우(크리스 개구리, 르로이 두꺼비)도 똑같이 성립하며, $3$이 아닌 어떤 수도 두꺼비 수가 달라져야 하는데 두 제약이 이를 막는다.

대안 접근: 브라이언에 대해 귀류법을 쓴다. 브라이언이 두꺼비라고 하자. 그러면 마이크는 개구리(1단계)이고 두꺼비는 많아야 하나(2단계)다. 그러나 브라이언이 두꺼비이고 크리스·르로이 중 하나도 두꺼비(3단계)라면 두꺼비가 둘이 되어 상한과 모순된다. 따라서 브라이언은 개구리여야 하고 마이크와 같은 종이 되며, 최종 개수는 다시 개구리 $3$마리다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)

1.OA.D.7 Understand the meaning of the equal sign, and determine if statements are true or false (말한 이가 두꺼비인지 개구리인지에 따라 각 문장의 참·거짓을 판정하는 데 사용.)
1.OA.A.1 Solve addition and subtraction word problems within 20 (마이크의 거짓인 "적어도 둘은 두꺼비"를 "두꺼비는 많아야 하나"라는 개수 상한으로 바꾸는 데 사용.)
2.OA.A.1 Solve one- and two-step word problems using addition and subtraction within 100 (확실한 두꺼비 하나와 두꺼비 상한 하나를 합쳐 개구리를 4에서 1을 뺀 수로 세는 데 사용.)

⭐ 한 발화자의 두 가정이 같은 결론으로 이어지면 그 결론은 확실해지고, 거짓말쟁이의 "적어도" 주장은 나머지를 확정하는 든든한 상한으로 뒤집힌다.