AMC 10 · 2012 · #3

쉬운 모드 학년 5

문제

좌표평면 위에 점 $(1000, 2012)$ 이 있어요. 높이 $y = 2000$ 에는 좌표평면을 가로지르는 거울 같은 직선이 하나 있어요. 이 직선을 기준으로 점을 반대쪽 거울 위치로 옮겨요. 옮긴 점의 좌표는 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(998,2012)

(B)

(1000,1988)

(C)

(1000,2024)

(D)

(1000,4012)

(E)

(1012,2012)

AMC 10 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 점 하나가 $(1000, 2012)$에 있다. 평면을 수평선 $y = 2000$을 따라 접는다고 하자. 접은 뒤 점이 어디로 가는지 구하라.

주어진 것: 점은 $(1000, 2012)$에 있다.; 거울선은 $y = 2000$으로, 수평선이다.; 반사에서는 거울선이 점과 그 상(image)의 정확히 한가운데에 있다.

구하는 것: 반사된 점의 좌표.

이해

문제 재정리: 점 하나가 $(1000, 2012)$에 있다. 평면을 수평선 $y = 2000$을 따라 접는다고 하자. 접은 뒤 점이 어디로 가는지 구하라.

주어진 것: 점은 $(1000, 2012)$에 있다.; 거울선은 $y = 2000$으로, 수평선이다.; 반사에서는 거울선이 점과 그 상(image)의 정확히 한가운데에 있다.

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

반사는 위치에 관한 것이므로, 점과 수평 거울선을 간단히 그려 보면 거울에 비친 상이 한눈에 보인다. 그런 다음 '$x$는 어떻게 되나', '$y$는 어떻게 되나'라는 두 개의 작은 문제로 나눈다. 그림을 그리면 엉뚱한 방향으로 움직이는 보기도 지워 낼 수 있다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 4.G.A.3 단계 1

점과 거울선을 그린다

수평선 $y = 2000$을 긋고 그 위에 점 $(1000, 2012)$을 찍는다.
수평 거울은 위아래를 뒤집을 뿐 좌우는 바꾸지 않으므로 좌우 위치($x = 1000$)는 변하지 않는다.
높이($y$)만 움직인다.

x = 1000 \text{ 는 그대로}

💡 수평 접힌 선을 따라 접으면 위아래만 바뀌므로 좌우 위치는 그대로다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 2

선까지의 거리를 잰다

두 높이를 빼서 점이 거울선보다 얼마나 위에 있는지 구한다.
점의 높이는 $2012$, 선의 높이는 $2000$이므로 그 차이는 $2012 - 2000 = 12$이다.

$$2012 - 2000 = 12$$

💡 점에서 수평선까지의 거리는 두 높이의 차이일 뿐이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 3

같은 거리만큼 아래로 내린다

반사는 선의 반대쪽에 같은 거리를 유지한다.
점이 선보다 $12$ 위에 있었으니 그 상은 선보다 $12$ 아래에 있다.
선의 높이 $2000$에서 $12$만큼 내려가면 $2000 - 12 = 1988$이다.

$$2000 - 12 = 1988$$

💡 거울선이 정확히 한가운데에 있으므로 상은 반대쪽에 같은 간격만큼 떨어져 있다.

#3 가능성 지우기 5.G.A.1 단계 4

반사된 좌표를 쓴다

변하지 않은 $x$와 새로운 $y$를 함께 적는다.
반사된 점은 $(1000, 1988)$이다.
$x$가 바뀌거나 점이 위로 올라가는 보기는 지울 수 있다.
여기서 수평 거울은 점을 곧장 아래로만 옮기기 때문이다.
이는 답 (B)와 일치한다.

$$(1000,\ 1988)$$

💡 순서쌍은 점을 콕 집어 준다. 그대로인 좌표는 두고, 반사된 좌표만 바꿔 넣는다.

[1] #1 4.G.A.3 수평선 $y = 2000$을 긋고 그 위에 점 $(1000, 2012)$을 찍는다. 수평 거울은 위아래를 뒤집을 뿐 좌우는 바꾸지 않으므로 좌우

[2] #7 4.NBT.B.4 두 높이를 빼서 점이 거울선보다 얼마나 위에 있는지 구한다. 점의 높이는 $2012$, 선의 높이는 $2000$이므로 그 차이는 $2012 -

[3] #7 4.NBT.B.4 반사는 선의 반대쪽에 같은 거리를 유지한다. 점이 선보다 $12$ 위에 있었으니 그 상은 선보다 $12$ 아래에 있다. 선의 높이 $2000$에

[4] #3 5.G.A.1 변하지 않은 $x$와 새로운 $y$를 함께 적는다. 반사된 점은 $(1000, 1988)$이다. $x$가 바뀌거나 점이 위로 올라가는 보기는 지

검토

합리성 확인: 거울선 $y = 2000$은 점과 상의 높이의 한가운데여야 한다. 두 높이는 $2012$와 $1988$이고, 그 평균은 $(2012 + 1988) / 2 = 2000$으로 정확히 거울선이다. $x$좌표는 수평 거울이 요구하는 대로 $1000$을 유지했다. 따라서 $(1000, 1988)$, 즉 답 (B)는 앞뒤가 맞는다.

대안 접근: 한가운데 성질을 바로 쓸 수도 있다. 거울 높이 $2000$은 옛 높이 $2012$와 새 높이 $h$의 한가운데여야 하므로 $2000 = (2012 + h)/2$, 즉 $h = 4000 - 2012 = 1988$이다. 거리를 먼저 재지 않고도 같은 결과가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.G.A.3 Recognize a line of symmetry for a two-dimensional figure (수평 거울선이 좌우 위치는 유지하고 높이만 뒤집는다는 것을 알아보기.)
4.NBT.B.4 Fluently add and subtract multi-digit whole numbers (거리 $2012 - 2000 = 12$와 새 높이 $2000 - 12 = 1988$을 계산하기.)
5.G.A.1 Use a pair of perpendicular number lines forming a coordinate system (좌표평면에서 점을 순서쌍 $(x, y)$로 읽고 쓰기.)

⭐ 점을 평평한 선에 비추려면 좌우 숫자는 그대로 두고, 높이는 선 반대쪽에 같은 거리만큼 두면 된다.