AMC 10 · 2015 · #5

쉬운 모드 학년 2

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문제

열두 명이 달리기 경주를 했습니다. 그 중 여섯 명은 David, Hikmet, Jack, Marta, Rand, Todd입니다. 등수는 다음과 같습니다.

Rand는 Hikmet보다 $6$ 등 앞에 들어왔습니다.
Marta는 Jack보다 $1$ 등 뒤에 들어왔습니다.
David는 Hikmet보다 $2$ 등 뒤에 들어왔습니다.
Jack은 Todd보다 $2$ 등 뒤에 들어왔습니다.
Todd는 Rand보다 $1$ 등 뒤에 들어왔습니다.
Marta는 $6$ 등으로 들어왔습니다.

$8$ 등으로 들어온 사람은 누구일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

David

(B)

Hikmet

(C)

Jack

(D)

Rand

(E)

Todd

AMC 10 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: David, Hikmet, Jack, Marta, Rand, Todd 여섯 명이 12명이 달린 경주에서 어딘가에 들어왔다. 각 단서는 두 선수의 등수를 서로 연결해 주고, Marta의 등수만 직접 주어진다. 8등으로 들어온 선수가 누구인지 찾아라.

주어진 것: Rand는 Hikmet보다 6등 앞섰다.; Marta는 Jack보다 1등 뒤였다.; David는 Hikmet보다 2등 뒤였다.; Jack은 Todd보다 2등 뒤였다.; Todd는 Rand보다 1등 뒤였다.; Marta는 6등으로 들어왔다.

구하는 것: 8등으로 들어온 선수.

이해

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #4 변수 도입하기

직접 알 수 있는 등수는 Marta의 6등 하나뿐이다. 그래서 그 확실한 사실에서 출발해, 이미 알아낸 등수와 연결되는 단서를 한 번에 하나씩 따라가며 8등 자리를 채운다.

실행 — 정답: B

#11 거꾸로 풀기 1.OA.A.1 단계 1

Marta를 기준으로 삼기

Marta는 6등이고, Jack보다 1등 뒤였다.
뒤였다는 것은 숫자가 더 크다는 뜻이므로, Jack의 등수는 Marta보다 1 작다.

$$\text{Jack} = 6 - 1 = 5$$

💡 바로 뒤에 있으면, 상대는 한 자리 앞에 있다.

#11 거꾸로 풀기 1.OA.A.1 단계 2

Jack에서 Todd 찾기

Jack은 Todd보다 2등 뒤였으므로, Todd는 Jack보다 2등 앞이다.
Todd의 등수는 Jack보다 2 작다.

$$\text{Todd} = 5 - 2 = 3$$

💡 누군가보다 2등 뒤라면, 그 사람은 두 자리 앞에 있다.

#11 거꾸로 풀기 1.OA.A.1 단계 3

Todd에서 Rand 찾기

Todd는 Rand보다 1등 뒤였으므로, Rand는 Todd보다 1등 앞이다.

$$\text{Rand} = 3 - 1 = 2$$

💡 Todd에서 한 자리 앞으로 가면 Rand가 된다.

#11 거꾸로 풀기 2.OA.A.1 단계 4

Rand에서 Hikmet 찾기

Rand는 Hikmet보다 6등 앞섰으므로, Hikmet은 Rand보다 6등 뒤다.
Rand의 등수에 6을 더한다.

$$\text{Hikmet} = 2 + 6 = 8$$

💡 2등에서 여섯 자리 뒤로 가면 딱 8등에 닿는다.

#11 거꾸로 풀기 2.OA.A.1 단계 5

8등 읽어내기

Hikmet의 등수가 8로 나왔다.
(David는 8 + 2 = 10등이므로 8등이 아니다.) 8등으로 들어온 선수는 Hikmet, 즉 보기 (B)다.

\text{8등} = \text{Hikmet}

💡 단서들의 사슬을 따라가면 문제가 물어본 바로 그 등수에 정확히 도착한다.

[1] #11 1.OA.A.1 Marta는 6등이고, Jack보다 1등 뒤였다. 뒤였다는 것은 숫자가 더 크다는 뜻이므로, Jack의 등수는 Marta보다 1 작다.

[2] #11 1.OA.A.1 Jack은 Todd보다 2등 뒤였으므로, Todd는 Jack보다 2등 앞이다. Todd의 등수는 Jack보다 2 작다.

[3] #11 1.OA.A.1 Todd는 Rand보다 1등 뒤였으므로, Rand는 Todd보다 1등 앞이다.

[4] #11 2.OA.A.1 Rand는 Hikmet보다 6등 앞섰으므로, Hikmet은 Rand보다 6등 뒤다. Rand의 등수에 6을 더한다.

[5] #11 2.OA.A.1 Hikmet의 등수가 8로 나왔다. (David는 8 + 2 = 10등이므로 8등이 아니다.) 8등으로 들어온 선수는 Hikmet, 즉 보기 (

검토

합리성 확인: 구한 등수를 순서대로 늘어놓으면 Rand 2등, Todd 3등, Jack 5등, Marta 6등, Hikmet 8등, David 10등이다. 원래 단서가 모두 맞는다 — Rand(2)는 Hikmet(8)보다 6등 앞, Marta(6)는 Jack(5)보다 1등 뒤, David(10)는 Hikmet(8)보다 2등 뒤, Jack(5)은 Todd(3)보다 2등 뒤, Todd(3)는 Rand(2)보다 1등 뒤, Marta는 6등이다. 여섯 등수가 모두 서로 다르고 1~12 안에 있으므로 Hikmet이 8등이라는 결론이 일관된다.

대안 접근: 거꾸로 사슬을 따라가는 대신, Rand의 등수를 r로 놓고 모든 선수를 r로 표현할 수도 있다: Todd = r+1, Jack = r+3, Marta = r+4, Hikmet = r+6, David = r+8. Marta = 6으로 두면 r = 2이고, Hikmet = r+6 = 8 — 같은 답이 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)

1.OA.A.1 Solve addition and subtraction word problems within 20 (각 "앞/뒤" 단서를 등수에 대한 한 번의 덧셈 또는 뺄셈으로 바꾸기.)
2.OA.A.1 Solve one- and two-step word problems using addition and subtraction within 100 (연결된 단서들을 이어 붙여 Marta의 알려진 등수를 8등까지 옮기기.)

⭐ 확실히 아는 등수 하나에서 출발해, 단서를 따라 선수를 한 명씩 건너뛰어 가라.