AMC 10 · 2016 · #6
쉬운 모드 학년 4히메나가 1부터 30까지의 정수를 적습니다. 에밀리오는 그 목록을 그대로 베끼되, 숫자 2를 모두 숫자 1로 바꿔서 적습니다. 예를 들어 2는 1이 되고, 12는 11이 되고, 20은 10이 됩니다. 히메나는 자기 수를 모두 더하고, 에밀리오도 자기 수를 모두 더합니다. 히메나의 합은 에밀리오의 합보다 얼마나 더 큰가요?
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AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: Ximena는 $1$부터 $30$까지의 자연수를 적습니다. Emilio는 그 수들을 그대로 베끼되 숫자 $2$를 모두 숫자 $1$로 바꿉니다. Ximena의 합이 Emilio의 합보다 얼마나 더 큰지 구하세요.
주어진 것: Ximena는 자연수 $1, 2, 3, \ldots, 30$을 나열한다; Emilio는 같은 목록을 베끼되 숫자 $2$를 모두 숫자 $1$로 바꾼다; Ximena는 자신의 수를 모두 더하고, Emilio는 자신의 수를 모두 더한다
구하는 것: Ximena의 합이 Emilio의 합보다 얼마나 더 큰가
이해
문제 재정리: Ximena는 $1$부터 $30$까지의 자연수를 적습니다. Emilio는 그 수들을 그대로 베끼되 숫자 $2$를 모두 숫자 $1$로 바꿉니다. Ximena의 합이 Emilio의 합보다 얼마나 더 큰지 구하세요.
주어진 것: Ximena는 자연수 $1, 2, 3, \ldots, 30$을 나열한다; Emilio는 같은 목록을 베끼되 숫자 $2$를 모두 숫자 $1$로 바꾼다; Ximena는 자신의 수를 모두 더하고, Emilio는 자신의 수를 모두 더한다
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기
서른 개의 수를 두 번 더하는 것은 느리고 실수하기 쉽습니다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 두 합 전체를 버리고 둘 사이의 차이만 봅니다. 수의 값은 숫자 $2$가 $1$로 바뀌는 자리에서만 변하므로, 전체 차이는 그런 한 자리짜리 감소들로만 이루어집니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 그 감소들을 자릿값으로 나눕니다 — 십의 자리 $2$는 하나당 $10$, 일의 자리 $2$는 하나당 $1$이 줄어들기 때문입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 $1$부터 $30$까지 각 자리에 $2$가 몇 개 있는지 셉니다.
실행 — 정답: D
4.OA.A.3 단계 1 줄어드는 양만 따라가기
- Emilio가 적는 수는 모두 Ximena의 수와 같거나 더 작고, 숫자 $2$가 $1$로 바뀐 자리에서만 변합니다.
- 따라서 두 합의 차이는 모든 $2 \to 1$ 교체에서 잃은 값의 총합과 같습니다.
- 나머지 숫자들은 완전히 무시하세요.
💡 두 목록이 몇 곳에서만 다르면, 합의 차이는 바로 그 자리들의 변화일 뿐이다.
1.NBT.B.2 단계 2 자릿값으로 나누기
- 숫자 $2$는 자리에 따라 값이 다릅니다.
- 십의 자리 $2$는 $20$을 뜻하고, $1$로 바꾸면 $10$이 되어 $10$ 줄어듭니다.
- 일의 자리 $2$는 $2$를 뜻하고, $1$로 바꾸면 $1$이 되어 $1$ 줄어듭니다.
- 그래서 십의 자리 $2$와 일의 자리 $2$를 따로 다룹니다.
💡 같은 숫자 $2$라도 십의 자리에서는 일의 자리보다 열 배 더 큰 값을 갖는다.
3.OA.A.1 단계 3 십의 자리 2 세기
- $1$부터 $30$까지 십의 자리가 $2$인 수를 나열하면 $20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29$ — 바로 20대의 열 개입니다.
- 각각 $10$씩 잃으므로 모두 합쳐 $10 \times 10 = 100$을 잃습니다.
💡 20대의 모든 수는 십의 자리가 $2$이고, 그런 수는 열 개다.
3.OA.A.1 단계 4 일의 자리 2 세기
- $1$부터 $30$까지 일의 자리가 $2$인 수를 나열하면 $2, 12, 22$ — 세 개입니다.
- 각각 $1$씩 잃으므로 모두 합쳐 $3 \times 1 = 3$을 잃습니다.
- ($22$의 십의 자리 $2$는 앞 단계에서 이미 세었고, 여기서는 일의 자리 $2$를 따로 셉니다.)
💡 $2$, $12$, $22$만 $2$로 끝나고, 각각 $1$만 잃는다.
4.NBT.B.4 단계 5 두 감소를 더하기
- 전체 차이는 십의 자리 손실과 일의 자리 손실의 합입니다: $100 + 3 = 103$.
- Ximena의 합이 Emilio의 합보다 $103$ 더 크고, 이는 보기 $\textbf{(D)}$입니다.
💡 큰 손실과 작은 손실을 더하면 전체 차이가 나온다.
4.OA.A.3 Emilio가 적는 수는 모두 Ximena의 수와 같거나 더 작고, 숫자 $2$가 $1$로 바뀐 자리에서만 변합니다. 따라서 두 합의 차이는 모 1.NBT.B.2 숫자 $2$는 자리에 따라 값이 다릅니다. 십의 자리 $2$는 $20$을 뜻하고, $1$로 바꾸면 $10$이 되어 $10$ 줄어듭니다. 일의 자 3.OA.A.1 $1$부터 $30$까지 십의 자리가 $2$인 수를 나열하면 $20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29$ — 바로 2 3.OA.A.1 $1$부터 $30$까지 일의 자리가 $2$인 수를 나열하면 $2, 12, 22$ — 세 개입니다. 각각 $1$씩 잃으므로 모두 합쳐 $3 \ti 4.NBT.B.4 전체 차이는 십의 자리 손실과 일의 자리 손실의 합입니다: $100 + 3 = 103$. Ximena의 합이 Emilio의 합보다 $103$ 더 검토
합리성 확인: 십의 자리 손실이 가장 큰 부분이어야 하는데, 열 개의 수가 각각 $10$씩 줄어 만든 $100$이 바로 그것이므로 답은 $100$보다 약간 큰 값이어야 합니다 — $103$이 맞습니다. 일의 자리도 확인하면, $22$는 $11$이 되어 $11 = 10 + 1$만큼 줄고, 이는 십의 자리 합에서 한 번, 일의 자리 합에서 한 번 올바르게 세어집니다. 보기 $13$과 $26$은 너무 작고(20대의 열 개를 무시함), $110$은 일의 자리 $2$가 열 개라고 잘못 가정한 값이므로, $103$만이 타당합니다.
대안 접근: 두 합을 직접 계산할 수도 있습니다. Ximena의 합은 $1 + 2 + \cdots + 30 = \frac{30 \cdot 31}{2} = 465$입니다. Emilio의 경우 20대 $20\text{–}29$를 $10\text{–}19$로(십의 자리를 낮춤), 그리고 $2 \to 1$, $12 \to 11$로 바꾸면 그의 합은 $362$가 됩니다. 그러면 $465 - 362 = 103$으로 같은 답 (D)입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.OA.A.3Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (두 합 전체를 계산하는 대신, 문제를 모든 숫자 변화에서 잃은 값의 총합으로 다시 보기.)1.NBT.B.2Understand that the two digits of a two-digit number represent tens and ones (십의 자리 $2$는 $10$ 줄고 일의 자리 $2$는 $1$ 준다는 것을 알아보기.)3.OA.A.1Interpret products of whole numbers as total number of objects in groups (십의 자리 $2$의 개수에 $10$을, 일의 자리 $2$의 개수에 $1$을 곱하기.)4.NBT.B.4Fluently add and subtract multi-digit whole numbers (십의 자리 손실 $100$과 일의 자리 손실 $3$을 더해 $103$ 얻기.)
⭐ 숫자 $2$만 바뀌니까, 각각이 잃는 값만 더하면 된다 — 십의 자리 $2$는 하나당 $10$, 일의 자리 $2$는 하나당 $1$.
⭐ 숫자 $2$만 바뀌니까, 각각이 잃는 값만 더하면 된다 — 십의 자리 $2$는 하나당 $10$, 일의 자리 $2$는 하나당 $1$.
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