AMC 10 · 2016 · #15

쉬운 모드 학년 4

문제

쉬운 버전 문제

$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ 의 수를 $3\times3$ 격자에 한 칸에 하나씩 놓습니다. 바로 이어지는 두 수(예를 들어 $4$ 와 $5$ )는 반드시 변을 맞댄 칸에 놓여야 합니다. 네 모서리 칸의 수를 더하면 $18$ 입니다. 가운데 칸에 있는 수는 무엇일까요?

$\textbf{(A)}\ 5\qquad\textbf{(B)}\ 6\qquad\textbf{(C)}\ 7\qquad\textbf{(D)}\ 8\qquad\textbf{(E)}\ 9$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1$부터 $9$까지의 숫자를 $3\times3$ 격자의 각 칸에 하나씩 적는데, 두 수가 연속이면(예: $4$와 $5$) 그 두 칸이 변을 맞대고 있어야 한다. 네 모서리 칸의 합이 $18$일 때, 가운데 칸의 수를 구하여라.

주어진 것: $1,2,3,4,5,6,7,8,9$를 각 칸에 하나씩 빠짐없이 사용한다; 두 수가 연속이면(예: $4$와 $5$) 그 칸들은 변을 맞대고 있다; 네 모서리 칸의 합은 $18$이다; 선택지: (A) $5$, (B) $6$, (C) $7$, (D) $8$, (E) $9$

구하는 것: 가운데 칸에 적힌 수

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

격자를 직접 채워 보는 것은 경우의 수가 많아 느리다. 대신 격자를 체스판처럼 색칠한다(도구 #1). 사슬 $1\to2\to\cdots\to9$는 변을 맞댄 칸으로만 이동하는데, 그때마다 색이 바뀌므로 수의 홀짝 패턴이 색과 정확히 맞물린다(도구 #5). 홀수와 짝수의 개수를 세면 모서리와 가운데가 어느 색이어야 하는지 결정되고(도구 #3), 격자를 완성하지 않고도 모서리와 가운데의 합이 고정된다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 4.OA.C.5 단계 1

격자를 체스판처럼 색칠하기

$3\times3$ 격자를 체스판 무늬로 색칠하되, 각 모서리 칸을 진한 색으로 시작한다.
그러면 네 모서리와 가운데가 진한 색이 되어 진한 칸은 다섯 개이고, 변 가운데 네 칸이 연한 색이 된다.
체스판의 핵심 성질은, 변을 맞댄 두 칸은 항상 색이 반대라는 것이다.

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline \bullet & \circ & \bullet \\\hline \circ & \bullet & \circ \\\hline \bullet & \circ & \bullet \\\hline\end{array}\quad \bullet=\text{진한 색 }(5),\ \circ=\text{연한 색 }(4)$$

💡 체스판에서는 이웃 칸으로 한 칸 갈 때마다 색이 뒤집히므로, 모서리와 가운데는 같은 색, 변 가운데는 다른 색이 된다.

#5 패턴 찾기 2.OA.C.3 단계 2

홀짝을 색과 맞추기

사슬 $1\to2\to3\to\cdots\to9$를 따라가 보자.
한 걸음마다 변을 맞댄 칸으로 가므로 색이 뒤집히고, 동시에 수의 홀짝도 뒤집힌다(홀에서 짝으로, 짝에서 홀로).
따라서 색과 홀짝이 한 걸음마다 똑같이 뒤집혀 짝을 이룬다.
즉 진한 칸에 놓인 수는 모두 같은 홀짝, 연한 칸에 놓인 수는 모두 반대 홀짝이다.

$$\underbrace{1}_{\bullet}\to\underbrace{2}_{\circ}\to\underbrace{3}_{\bullet}\to\underbrace{4}_{\circ}\to\cdots$$

💡 매 걸음마다 함께 뒤집히는 두 가지는 끝까지 완벽하게 맞물려 간다.

#3 가능성 지우기 2.NBT.B.5 단계 3

홀수를 다섯 진한 칸에 몰아넣기

$1$부터 $9$까지에는 홀수가 다섯 개 $\{1,3,5,7,9\}$, 짝수가 네 개 $\{2,4,6,8\}$ 있다.
진한 칸(모서리와 가운데)은 모두 같은 홀짝인 다섯 칸이다.
짝수는 네 개뿐이므로 이 다섯 칸이 모두 짝수일 수는 없다.
따라서 진한 칸에는 다섯 개의 홀수가 들어가야 한다.
이를 더하면 모서리와 가운데의 합이 나온다.

$$1+3+5+7+9 = 25$$

💡 같은 홀짝인 다섯 칸을 네 개뿐인 짝수로 채울 수 없으니, 그것은 홀수일 수밖에 없다.

#3 가능성 지우기 2.NBT.B.5 단계 4

빼서 가운데만 남기기

다섯 진한 칸은 네 모서리와 가운데이고, 그 합은 $25$이다.
네 모서리만의 합은 $18$이다.
가운데는 그 차이로 남으니 빼면 된다: $25 - 18 = 7$.
따라서 가운데 수는 $7$이고, 이는 (C)이다.

$$\text{가운데} = 25 - 18 = 7 = \textbf{(C)}$$

💡 모서리와 가운데를 합한 값도 알고 모서리만의 값도 아니, 남는 것이 가운데이다.

[1] #1 4.OA.C.5 $3\times3$ 격자를 체스판 무늬로 색칠하되, 각 모서리 칸을 진한 색으로 시작한다. 그러면 네 모서리와 가운데가 진한 색이 되어 진한 칸

[2] #5 2.OA.C.3 사슬 $1\to2\to3\to\cdots\to9$를 따라가 보자. 한 걸음마다 변을 맞댄 칸으로 가므로 색이 뒤집히고, 동시에 수의 홀짝도 뒤집

[3] #3 2.NBT.B.5 $1$부터 $9$까지에는 홀수가 다섯 개 $\{1,3,5,7,9\}$, 짝수가 네 개 $\{2,4,6,8\}$ 있다. 진한 칸(모서리와 가운데)

[4] #3 2.NBT.B.5 다섯 진한 칸은 네 모서리와 가운데이고, 그 합은 $25$이다. 네 모서리만의 합은 $18$이다. 가운데는 그 차이로 남으니 빼면 된다: $25

검토

합리성 확인: 구체적인 격자가 이를 확인해 준다. 행이 $\,3\,4\,5\,/\,2\,7\,6\,/\,1\,8\,9\,$인 배치는 사슬 $1\to2\to\cdots\to9$를 변을 맞댄 칸들을 따라 그리므로 규칙에 맞는다. 모서리는 $3+5+1+9=18$로 조건에 맞고, 가운데는 $7$로 홀수이며 진한 칸 논증이 요구하는 그대로다. 모서리와 가운데 칸 $\{1,3,5,7,9\}$의 합은 $25$이고, $25-18=7$과 일치한다.

대안 접근: 홀짝 성질을 이용해 선택지를 따져 본다. 가운데는 진한 칸에 있으므로 반드시 홀수여서 (B) $6$과 (D) $8$은 바로 탈락한다. 남은 홀수 선택지에서, 모서리와 가운데의 합은 언제나 $1+3+5+7+9=25$이므로 가운데는 무조건 $25-18=7$이다. (C)만 맞는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 모양 패턴 만들기 (이웃한 칸끼리 색이 번갈아 바뀌는 모양 패턴으로 체스판 색칠을 만들어, 격자를 다섯 진한 칸(모서리와 가운데)과 네 연한 칸(변)으로 나누는 데 사용.)
2.OA.C.3 물건의 개수가 홀수인지 짝수인지 판단하기 (연속한 수가 색깔의 교대와 한 걸음씩 맞물려 홀짝이 번갈아 바뀜을 추적하여, 각 색 무리가 모두 같은 홀짝의 수를 담음을 보이는 데 사용.)
2.NBT.B.5 100 이내의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 하기 (다섯 홀수를 더해 $1+3+5+7+9=25$를 구하고, 모서리 합을 빼서 가운데 $25-18=7$을 구하는 데 사용.)

⭐ 격자를 체스판처럼 색칠하면 연속한 수는 반드시 다른 색으로 건너뛰어야 하므로, 모서리와 가운데 다섯 칸이 바로 다섯 홀수가 된다. 그리고 $25-18$이 가운데를 남긴다.