AMC 8 · 2012 · #5

학년 4 geometry-2d

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Rectilinear Perimeter Closure

perimeterspatial-visualizationlinear-equations-one-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticperimeter

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

모든 각이 직각인 닫힌 도형이라 모든 변은 가로 아니면 세로입니다. 변의 길이는 모두 센티미터 단위로 표시되어 있고, 그중 세로 변 하나만 X 로 적혀 있습니다. 그림은 실제 비율이 아니므로 그림 모양이 아니라 적힌 숫자만 믿어야 합니다. X 의 길이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$hspace{.05in}1$

(B)

$hspace{.05in}2$

(C)

$hspace{.05in}3$

(D)

$hspace{.05in}4$

(E)

$hspace{.05in}5$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도형이 닫혀 있으므로 둘레를 한 바퀴 돌면 출발점으로 돌아와야 합니다. 즉 "올라간 거리의 합" 과 "내려간 거리의 합" 이 같아야 합니다(그렇지 않으면 출발점 위나 아래에서 끝나 버립니다). 도구 #1(그림 그리기)로 도형을 따라가며 각 세로 변에 위쪽 화살표 또는 아래쪽 화살표를 표시하고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 위쪽 길이는 한 줄에, 아래쪽 길이는 다른 줄에 적어 각각 더합니다. 두 합이 같다는 식을 세우면 X 가 바로 나옵니다 — 어려운 대수 없이 뺄셈 한 번이면 끝납니다.

1STEP 1

둘레를 한 바퀴 돌며 각 세로 변에 위·아래 화살표를 표시하고, 가로 변은 잠시 무시합니다.

2STEP 2

둘레를 따라가면 위로 향하는 네 변의 라벨은 6, 1, 2, 1 입니다.

위쪽 변: 6, 1, 2, 1

3STEP 3

위쪽 변 길이를 모두 더하면 올라간 총 거리는 10 cm 입니다.

6 + 1 + 2 + 1 = 10 cm

4STEP 4

계속 따라가면 아래로 향하는 변의 라벨은 1, 1, 1, 2, X 입니다(X 는 출발점으로 돌아오는 미지의 변).

아래쪽 변: 1, 1, 1, 2, X

5STEP 5

라벨이 있는 아래쪽 합은 5 이므로 내려간 거리 합은 5 + X 입니다.

1 + 1 + 1 + 2 + X = 5 + X cm

6STEP 6

닫힘 조건에서 위 = 아래이므로 10 = 5 + X, 따라서 X = 5 입니다.

10 = 5 + X → X = 10 - 5 = 5 cm → (E)

정답

hspace{.05in}5

가로 방향으로도 같은 "닫힘 원리" 가 성립하는지 빠르게 확인합니다. 오른쪽으로 가는 변은 3, 1, 2, 2, 2 = 10, 왼쪽으로 가는 변은 3, 2, 1, 4 = 10 으로 둘 다 10 cm 입니다. 도형이 실제로 닫힌다는 뜻이므로 우리가 세운 세로 방향 식도 올바르게 해석한 것입니다. 답 X = 5 는 선택지에 들어 있고, X 가 도형에서 비교적 긴 세로 변이라는 점과도 잘 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 4학년 수준이면 충분히 풀 수 있어요. 도형이 닫혀 있으면 "올라간 거리" 합과 "내려간 거리" 합이 같아야 하니, 빠진 변은 두 합을 맞춰 주는 길이로 정해집니다.

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