AMC 10 · 2017 · #25
쉬운 모드 학년 4쉬운 버전 문제
어떤 세 자리 수의 세 숫자를 다시 배열해서 (100부터 999 사이의) 11의 배수를 만들 수 있으면, 그 수는 "조건을 만족한다"고 합시다. 예를 들어 121은 그 자체가 11의 배수이므로 조건을 만족하고, 211은 숫자들을 다시 배열하면 121이 되므로 조건을 만족합니다. 100부터 999까지의 수 중에서 조건을 만족하는 수는 몇 개일까요?
(A) 226(B) 243(C) 270(D) 469(E) 486
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AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $100$부터 $999$까지의 세 자리 수 중에서, 자릿수를 적당히 재배열하면 ($100$부터 $999$ 사이의) $11$의 배수가 되는 수가 몇 개인지 세어라. 어떤 배열 하나라도 그런 배수가 되면 그 수는 조건을 만족한다. 예를 들어 $121$은 $11$의 배수이므로 $121$과 $211$ 모두 조건을 만족한다.
주어진 것: $100$부터 $999$까지의 모든 정수를 본다; 세 자릿수를 어떻게든 재배열해서 같은 범위의 $11$의 배수가 되면 그 수는 조건을 만족한다; 재배열한 수도 올바른 세 자리 수여야 하므로 $0$으로 시작할 수 없다; 보기: (A) $226$, (B) $243$, (C) $270$, (D) $469$, (E) $486$
구하는 것: 이 성질을 가진 세 자리 수가 몇 개인지
이해
문제 재정리: $100$부터 $999$까지의 세 자리 수 중에서, 자릿수를 적당히 재배열하면 ($100$부터 $999$ 사이의) $11$의 배수가 되는 수가 몇 개인지 세어라. 어떤 배열 하나라도 그런 배수가 되면 그 수는 조건을 만족한다. 예를 들어 $121$은 $11$의 배수이므로 $121$과 $211$ 모두 조건을 만족한다.
주어진 것: $100$부터 $999$까지의 모든 정수를 본다; 세 자릿수를 어떻게든 재배열해서 같은 범위의 $11$의 배수가 되면 그 수는 조건을 만족한다; 재배열한 수도 올바른 세 자리 수여야 하므로 $0$으로 시작할 수 없다; 보기: (A) $226$, (B) $243$, (C) $270$, (D) $469$, (E) $486$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #16 관점 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기
$900$개의 수를 하나씩 확인하는 것은 불가능하므로 도구 #16(관점 바꾸기)을 쓴다. 각 수를 검사하는 대신 $11$의 배수에서 출발해 그 배수와 같은 자릿수를 가진 모든 수로 거꾸로 세어 나간다. 그런 배수는 $81$개뿐이다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 배수의 자릿수가 만드는 올바른 세 자리 재배열이 몇 개인지 센다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 $81$개의 배수를 자릿수가 몇 개나 겹치는지에 따라 분류한다. 겹치는 자릿수와 $0$이 재배열 개수를 바꾸기 때문이며, 뒤집기 규칙에서 생기는 중복 계산도 이 분류로 드러난다.
실행 — 정답: A
4.OA.B.4 단계 1 11의 배수 개수 세기
- 세 자리 $11$의 배수를 나열한다.
- 가장 작은 것은 $11\times10=110$, 가장 큰 것은 $11\times90=990$이므로 $11\times10, 11\times11, \ldots, 11\times90$까지 이어진다.
- 즉 $90-10+1=81$개이다.
- 어떤 수가 조건을 만족하는 것은 그 자릿수를 섞어서 이 $81$개 중 하나를 만들 수 있을 때이므로, 각 배수의 자릿수를 섞어서 얻는 서로 다른 세 자리 수를 세면 충분하다.
💡 드문 배수에서 거꾸로 세는 것이 900개를 전부 훑는 것보다 훨씬 쉽다.
4.OA.A.3 단계 2 두 배로 세게 만드는 뒤집기 규칙
- 자릿수가 $A$, $B$, $C$인 수의 $11$ 나누어떨어짐은 $A-B+C$로 판정한다.
- 이를 뒤집어 $C$, $B$, $A$로 만들면 $C-B+A$로 값이 같으므로, $11$의 배수를 뒤집은 수도 $11$의 배수이다.
- 뒤집은 수는 같은 세 자릿수를 쓰므로, 어떤 배수와 그 뒤집은 수는 똑같은 재배열 집합을 만든다.
- 배수의 뒤집은 수가 다른 올바른 수일 때 그 둘을 별개의 출처로 세면 공통 재배열이 두 번 세진다.
💡 11의 배수를 앞뒤로 뒤집으면 같은 자릿수를 가진 또 다른 11의 배수가 된다.
4.OA.A.3 단계 3 겹치는 자릿수로 81개 분류
- $81$개의 배수를 세 묶음으로 나눠 각 묶음의 재배열 개수를 같게 만든다.
- 묶음 I: 세 자릿수가 모두 같음, 예를 들어 $aaa=111a$인데 $111$은 $11$의 배수가 아니므로 $0$개.
- 묶음 II: 정확히 두 자릿수가 같음.
- 묶음 III: 세 자릿수가 모두 다름.
- 나머지 $81$개는 묶음 II와 III에 들어가고, 각 묶음 안에서 $0$을 포함한 것을 따로 떼어 낸다.
- $0$은 맨 앞에 올 수 없기 때문이다.
💡 겹치는 자릿수와 0은 각각 한 자릿수 묶음이 만들 수 있는 실제 수의 개수를 줄인다.
4.NBT.B.5 단계 4 묶음 II — 겹치는 자릿수, 0 없음
- 이들은 회문 $aba$인 $121, 242, 363, 484, 616, 737, 858, 979$로 $8$개이다.
- 각각 같은 자릿수 두 개가 있고 $0$이 없으므로, 그 자릿수는 $\frac{3!}{2!}=3$개의 서로 다른 세 자리 수를 만들며 모두 올바르다.
- 회문은 자기 자신이 뒤집은 수이므로 뒤집기 규칙에 의한 중복이 없다.
💡 같은 자릿수 두 개가 여섯 가지 배열을 셋으로 줄인다.
4.NBT.B.5 단계 5 묶음 II — 겹치는 자릿수와 0
- 이들은 $110, 220, 330, 440, 550, 660, 770, 880, 990$으로 $9$개이며 각각 자릿수가 $\{a,a,0\}$이다.
- 세 가지 배열은 $aa0, a0a, 0aa$인데 $0aa$는 $0$으로 시작하므로 버리고 각각 $2$개의 올바른 수가 남는다.
- 이들은 범위 안의 다른 배수와 짝을 이루는 회문이 아니므로 중복 계산이 없다.
💡 맨 앞의 0은 불가능하므로 겹친 자릿수에 0이 더해지면 실제 수는 둘뿐이다.
4.NBT.B.6 단계 6 묶음 III — 모두 다른 자릿수, 0 포함
- 모두 다른 $64$개의 배수 중 $0$을 포함한 것은 $209, 308, 407, 506, 605, 704, 803, 902$로 $8$개이다.
- 자릿수 $\{a,b,0\}$은 $3!=6$가지 배열을 만들지만 $0$으로 시작하는 $2$가지는 버려져 각각 $4$개의 올바른 수가 남는다.
- 뒤집기 규칙이 이들을 짝짓고($209$와 $902$ 등) 짝지어진 배수는 같은 네 수를 공유하므로 $2$로 나눈다.
💡 서로 다른 세 자릿수에 0이 있으면 올바른 수가 넷이지만, 뒤집기가 각 짝을 두 번 센다.
4.NBT.B.6 단계 7 묶음 III — 모두 다른 자릿수, 0 없음
- 묶음 III의 나머지는 세 개의 서로 다른 0이 아닌 자릿수를 가진 $64-8=56$개의 배수이다.
- 막히는 배열이 없으므로 각각 $3!=6$개의 올바른 수를 만든다.
- 뒤집기 규칙이 다시 각 배수를 여섯 수를 공유하는 범위 안의 다른 짝과 짝지으므로 $2$로 나눈다.
💡 서로 다른 0이 아닌 세 자릿수는 여섯 수를 만들지만, 각 배수의 뒤집은 수도 세어지므로 절반으로 줄인다.
3.NBT.A.2 단계 8 묶음 더하기
- 조건을 만족하는 모든 수는 이 서로 겹치지 않는 경우들에서 정확히 한 번씩 세어진다.
- 더하면 묶음 II에서 $24+18$, 묶음 III에서 $16+168$이다.
- 따라서 $42+184=226$개의 서로 다른 수가 조건을 만족하며, 이것이 보기 (A)이다.
💡 겹치지 않는 경우들은 그냥 더하면 된다.
4.OA.B.4 세 자리 $11$의 배수를 나열한다. 가장 작은 것은 $11\times10=110$, 가장 큰 것은 $11\times90=990$이므로 $11\ 4.OA.A.3 자릿수가 $A$, $B$, $C$인 수의 $11$ 나누어떨어짐은 $A-B+C$로 판정한다. 이를 뒤집어 $C$, $B$, $A$로 만들면 $C- 4.OA.A.3 $81$개의 배수를 세 묶음으로 나눠 각 묶음의 재배열 개수를 같게 만든다. 묶음 I: 세 자릿수가 모두 같음, 예를 들어 $aaa=111a$인 4.NBT.B.5 이들은 회문 $aba$인 $121, 242, 363, 484, 616, 737, 858, 979$로 $8$개이다. 각각 같은 자릿수 두 개가 있 4.NBT.B.5 이들은 $110, 220, 330, 440, 550, 660, 770, 880, 990$으로 $9$개이며 각각 자릿수가 $\{a,a,0\}$이다 4.NBT.B.6 모두 다른 $64$개의 배수 중 $0$을 포함한 것은 $209, 308, 407, 506, 605, 704, 803, 902$로 $8$개이다. 4.NBT.B.6 묶음 III의 나머지는 세 개의 서로 다른 0이 아닌 자릿수를 가진 $64-8=56$개의 배수이다. 막히는 배열이 없으므로 각각 $3!=6$개의 3.NBT.A.2 조건을 만족하는 모든 수는 이 서로 겹치지 않는 경우들에서 정확히 한 번씩 세어진다. 더하면 묶음 II에서 $24+18$, 묶음 III에서 $1 검토
합리성 확인: $226$은 모든 배수에 단순히 세 가지 재배열을 준 $81\times3=243$보다 작은데, $0$과 뒤집기 짝짓기는 수를 더할 뿐 아니라 빼기만 하므로 타당하다. 보기 중 $243$보다 작은 것은 $226$뿐이고, 더 큰 보기는 배수들이 만들 수 있는 것보다 많은 수를 요구하므로 (A)가 유일하게 가능한 답이다. 세 묶음(모두 같음, 하나 겹침, 모두 다름)은 $81$개의 배수를 겹침 없이 덮고, 각 묶음 안에서 $0$과 뒤집기 보정을 처리했으므로 빠뜨리거나 두 번 세는 일이 없다.
대안 접근: 먼저 넘치게 세고 보정한다. $81$개의 배수에 각각 $6$가지 배열을 주고 뒤집기 짝짓기로 $2$로 나누면 $81\times3=243$이다. 이는 재배열에 맨 앞 $0$이 끼는 수들을 지나치게 많이 센다. $0$으로 끝나는 배수가 $9$개의 잘못된 배열을 만들고($110,\ldots,990$), 맨 앞에 $0$을 강제하는 가운데-끝 형태가 $8$개를 더한다($209,\ldots,902$). 합쳐 $17$개의 잘못된 경우이다. 빼면 $243-17=226$으로 (A)가 확인된다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.OA.B.4Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite (전체 계산을 이끄는 세 자리 $11$의 배수 $81$개를 나열하고 세는 데 사용.)4.OA.A.3Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (여러 단계 계획 세우기: 뒤집기 규칙, 배수를 묶음으로 분류, 중복 계산 처리에 사용.)4.NBT.B.5Multiply a whole number of up to four digits by a one-digit whole number ($8\times3$, $9\times2$처럼 각 묶음의 크기에 올바른 재배열 개수를 곱하는 데 사용.)4.NBT.B.6Find whole-number quotients and remainders with up to four-digit dividends ($336\div2=168$처럼 뒤집기 중복 계산을 없애기 위해 $2$로 나누는 데 사용.)3.NBT.A.2Fluently add and subtract within 1000 (묶음 합계 $24+18+16+168$을 더해 $226$에 이르는 데 사용.)
⭐ 규칙에 맞는 수가 적을 때는 그것들에서 출발해 거꾸로 세고, 맨 앞 0과 두 번 세는 배열을 보정하라.
⭐ 규칙에 맞는 수가 적을 때는 그것들에서 출발해 거꾸로 세고, 맨 앞 0과 두 번 세는 배열을 보정하라.
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