AMC 10 · 2017 · #6

쉬운 모드 학년 5

문제

쉬운 버전 문제

가로 $2$ 인치, 세로 $2$ 인치, 높이 $1$ 인치인 작은 나무토막들이 있습니다. 이 토막들을 가로 $3$ 인치, 세로 $2$ 인치, 높이 $3$ 인치인 상자 안에 넣으려고 합니다. 토막끼리 겹치거나 상자 밖으로 튀어나오면 안 됩니다. 최대 몇 개를 넣을 수 있을까요?

$\textbf{(A)}\ 3\qquad\textbf{(B)}\ 4\qquad\textbf{(C)}\ 5\qquad\textbf{(D)}\ 6\qquad\textbf{(E)}\ 7$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $2\text{ in}\times2\text{ in}\times1\text{ in}$ 크기의 단단한 블록들을 겹치지 않고 밖으로 튀어나오지도 않게 $3\text{ in}\times2\text{ in}\times3\text{ in}$ 상자 안에 넣는다. 블록을 최대 몇 개까지 넣을 수 있는지 구하는 문제이다.

주어진 것: 각 블록은 단단한 $2\times2\times1$ 직육면체이다; 상자는 $3\times2\times3$ 직육면체이다; 블록은 어떤 방향으로든 돌릴 수 있지만 겹치거나 밖으로 나올 수 없다; 보기: $3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7$

구하는 것: 상자 안에 들어가는 블록의 최대 개수

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #8 단위 살펴보기, #17 공간 상상하기, #1 그림 그리기

"최대"라는 말이 이 문제를 최댓값 문제로 만들므로 도구 #14(극단의 원리)가 전략을 정한다: 어떤 배치로도 넘을 수 없는 천장을 찾고, 그 천장에 실제로 도달할 수 있음을 보인다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 그 천장을 준다 — 블록들의 부피 합은 상자의 부피를 결코 넘을 수 없으므로 두 부피를 나누면 개수가 제한된다. 단단한 블록은 빈틈없이 채워지지 않을 수도 있어서 부피 제한만으로는 도달 가능을 증명하지 못하므로, 도구 #17(공간 상상하기)과 도구 #1(그림 그리기)로 그 천장에 닿는 실제 배치를 만든다. 천장과 그에 맞는 배치를 함께 보이면 답이 정확히 정해진다.

실행 — 정답: B

#8 단위 살펴보기 5.MD.C.5 단계 1

두 부피 계산하기

직육면체의 부피는 가로 곱하기 세로 곱하기 높이이다.
큰 상자는 $3\times2\times3=18$ 세제곱인치를 담는다.
블록 하나는 $2\times2\times1=4$ 세제곱인치를 차지한다.
이 수들은 채울 공간의 크기와 블록 하나가 쓰는 공간을 말해 준다.

$$V_{\text{상자}}=3\times2\times3=18,\qquad V_{\text{블록}}=2\times2\times1=4$$

💡 세 변의 길이를 곱하면 직육면체가 담는 단위 정육면체의 개수가 나온다.

#14 극단의 원리 5.NF.B.3 단계 2

부피로 개수에 한계 두기

블록들은 겹치지 않고 상자 안에 들어가므로 그 부피의 합은 많아야 상자의 부피이다.
따라서 블록의 개수는 많아야 $18\div4=4.5$이다.
블록을 반 개만 넣을 수는 없으므로 개수는 $4.5$를 넘지 않는 정수, 즉 $4$이다.

$$\dfrac{18}{4}=4.5\ \Rightarrow\ \text{많아야 }4\text{개}$$

💡 안에 든 것의 총량은 그릇을 넘을 수 없으므로 상자의 부피가 확실한 천장을 정한다.

#17 공간 상상하기 5.MD.C.4 단계 3

4개에 도달하는 배치 만들기

부피 한계는 실제 배치가 있어야만 $4$가 가능함을 증명하므로 하나 만든다.
상자를 가로 $3$, 높이 $2$, 깊이 $3$으로 보자.
블록 세 개를 각각 가로 $1$, 높이 $2$, 깊이 $2$로 세워 가로를 따라 나란히 놓으면 앞쪽 $3\times2\times2$ 덩어리를 채운다.
그러면 뒤쪽에 $3\times2\times1$ 판이 남는다.
네 번째 블록을 가로 $2$, 높이 $2$, 깊이 $1$로 눕혀 그 판에 놓으면 — 판이 가로 $3$, 높이 $2$이므로 들어간다.
겹치지 않고 튀어나오지도 않는 $4$개이다.

$$\underbrace{3}_{\text{가로 }1\text{ 블록}}+\underbrace{1}_{\text{눕힌 블록}}=4$$

💡 상자를 평평한 층으로 채우면 3차원 퍼즐이 간단한 직사각형 쌓기로 바뀐다.

#14 극단의 원리 5.MD.C.4 단계 4

최댓값 말하기

부피는 $4$개보다 많이 넣는 것을 막고, 위의 배치는 정확히 $4$개를 넣는다.
두 사실이 만나므로 블록의 최대 개수는 $4$, 곧 보기 $\textbf{(B)}$이다.

$$\text{최대}=4\ \Rightarrow\ \textbf{(B)}$$

💡 천장과 실제 배치가 같은 수에서 만나면 그 수가 정확한 답이다.

[1] #8 5.MD.C.5 직육면체의 부피는 가로 곱하기 세로 곱하기 높이이다. 큰 상자는 $3\times2\times3=18$ 세제곱인치를 담는다. 블록 하나는 $2\t

[2] #14 5.NF.B.3 블록들은 겹치지 않고 상자 안에 들어가므로 그 부피의 합은 많아야 상자의 부피이다. 따라서 블록의 개수는 많아야 $18\div4=4.5$이다.

[3] #17 5.MD.C.4 부피 한계는 실제 배치가 있어야만 $4$가 가능함을 증명하므로 하나 만든다. 상자를 가로 $3$, 높이 $2$, 깊이 $3$으로 보자. 블록 세

[4] #14 5.MD.C.4 부피는 $4$개보다 많이 넣는 것을 막고, 위의 배치는 정확히 $4$개를 넣는다. 두 사실이 만나므로 블록의 최대 개수는 $4$, 곧 보기 $\

검토

합리성 확인: 계산을 확인하자: 블록 $4$개는 $4\times4=16$ 세제곱인치를 쓰고 상자는 $18$ 세제곱인치이므로 $2$ 세제곱인치가 남는다 — 한쪽 구석의 작은 $1\times2\times1$ 빈틈인데, 두께 $1$인치 자리에는 어떤 블록도 들어갈 수 없으니 괜찮다. 다섯 번째 블록은 $18$ 세제곱인치 상자 안에 $20$ 세제곱인치의 내용물을 요구하므로 불가능하다. 따라서 $\textbf{(B)}\ 4$는 도달 가능하면서 동시에 들어갈 수 있는 최대이다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)으로 보기를 빠르게 줄인다: $5$개 이상은 적어도 $20$ 세제곱인치가 필요한데 상자는 $18$뿐이므로 $5,6,7$은 곧바로 탈락한다. 남는 것은 $3$ 또는 $4$인데, $4$개의 구체적 배치가 존재하므로 더 큰 $4$가 이긴다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.MD.C.5 Relate volume to the operations of multiplication and addition (변의 길이를 곱해 상자 부피 $3\times2\times3=18$과 블록 부피 $2\times2\times1=4$를 구하는 데 사용.)
5.NF.B.3 Interpret a fraction as division of the numerator by the denominator ($18$을 $4$로 나누어 $4.5$를 얻고 블록 개수의 정수 한계인 $4$로 읽는 데 사용.)
5.MD.C.4 Measure volumes by counting unit cubes (블록을 평평한 층으로 배치해 정확히 $4$개가 겹침 없이 상자를 채움을 보이는 데 사용.)

⭐ 상자 부피 $18$을 블록 부피 $4$로 나누면 $4.5$이니 많아야 $4$개 — 그리고 평평한 층으로 쌓으면 실제로 $4$개가 들어간다, 보기 $\textbf{(B)}$.