AMC 8 · 2000 · #12
학년 4 arithmeticgeometry-2d
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AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
문제에 주어진 그림이 이미 절반의 풀이를 해 놓았습니다. 도구 #1(그림 그리기)로 그림을 읽으면 행에는 두 가지 "스타일"만 등장한다는 사실이 보입니다 — 아래쪽 행처럼 2 ft 블록만 쓰는 "바닥형" 행과, 위쪽 행처럼 양 끝을 1 ft 블록으로 막는 "윗형" 행. 그러면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 세는 일이 셋으로 쪼개집니다: (a) 바닥형 한 행의 블록 수, (b) 윗형 한 행의 블록 수, (c) 7 행을 번갈아 쌓을 때 두 스타일이 각각 몇 번 나오는지. 한 행에서 블록 수가 적으려면 긴 블록을 많이 써야 하므로 각 행은 자기 자리에서 가능한 한 2 ft 블록을 채우려 하고, 어긋남 규칙은 윗형 행에 정확히 두 개의 1 ft 블록을 강제합니다. 대수는 전혀 필요 없고, 작은 문제마다 곱셈·덧셈 한 번씩이면 끝납니다.
블록 높이가 1 ft 라 7 ft 벽은 7 행. 한 행을 2 ft 블록으로만 채우는 게 가장 쌉니다: 100 ÷ 2 = 50개짜리 바닥형 행.
100 ft 를 가장 긴 블록(2 ft)으로 나눈 50 개가 한 행이 쓸 수 있는 블록의 최솟값.
4.OA.A.3Draw A Diagram위 행은 2 ft 만으론 안 됨(이음선 겹침). 양 끝을 1 ft 로 막고 98 ft 를 49개 2 ft 블록으로 채우면 51개짜리 윗형 행.
양 끝에 1 ft "마감 블록" 두 개를 끼우면 가운데 이음선이 모두 1 ft 씩 밀려, 위 행의 이음선이 홀수 위치 3, 5, 7, …, 97 에 떨어집니다 — 아래 이음선 위에는 절대 오지 않습니다.
4.OA.A.3Draw A Diagram한 행의 블록 수 = 100 - 2 ft 블록 수. 어긋난 행은 마감 블록 2개가 강제돼 최소 51개. 결국 50·51 교대가 최적.
1 ft 블록 하나를 끼울 때마다 전체 블록 수가 1 씩 늘어나므로, 어긋남을 깨지 않는 선에서 가능한 한 적게 끼워야 합니다.
4.OA.A.3Identify Subproblems7행을 교대로 쌓기: 1, 3, 5, 7행 바닥형(4 × 50), 2, 4, 6행 윗형(3 × 51). 합 200 + 153 = 353.
값싼 행 4 개 + 살짝 비싼 행 3 개 — 곱셈 두 번과 덧셈 한 번으로 세 작은 문제의 답이 합쳐집니다.
4.OA.A.3Identify Subproblems어긋난 벽에 나올 수 있는 행은 단 두 가지 — 값싼 50 블록 행(2 ft 블록만)과 약간 비싼 51 블록 행(2 ft 블록 + 1 ft 마감 두 개). 7 행을 번갈아 쌓으면 4 × 50 + 3 × 51 = 353 블록, 정답 (D).
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