AMC 10 · 2018 · #1

쉬운 모드 학년 3

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문제

Kate가 직사각형 모양의 콘브레드를 구웠습니다. 길이는 $20$ 인치, 너비는 $18$ 인치입니다. 이것을 작은 정사각형으로 자릅니다. 정사각형은 한 변이 $2$ 인치입니다. 정사각형은 모두 몇 개가 될까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

100

(C)

180

(D)

200

(E)

360

AMC 10 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직사각형 모양의 콘브레드 팬은 길이가 $20$인치, 너비가 $18$인치이다. 이것을 한 변이 $2$인치인 작은 정사각형 조각으로 자른다. 팬 전체가 모두 몇 조각으로 잘리는지 구하는 문제이다.

주어진 것: 팬은 $20$인치 $\times$ $18$인치 직사각형이다; 각 조각은 $2$인치 $\times$ $2$인치 정사각형이다; 자른 선이 곧게 가로지르므로 조각들이 빈틈이나 겹침 없이 팬을 채운다; 보기: (A) $90$, (B) $100$, (C) $180$, (D) $200$, (E) $360$

구하는 것: 팬 안에 있는 $2\times 2$ 조각의 총 개수

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

팬은 똑같은 정사각형들로 깔끔하게 잘린 실제 직사각형이므로, 도구 #1(그림 그리기)로 말을 그림으로 바꾸면 작은 정사각형의 행과 열을 셀 수 있다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 하나의 어려운 질문을 두 개의 쉬운 질문으로 나눈다 — $20$인치 변을 따라 몇 조각이 들어가는가, $18$인치 변을 따라 몇 조각이 들어가는가 — 그리고 격자 그림은 전체가 행 $\times$ 열임을 보여 준다. 이렇게 하면 넓이 나눗셈에 의존하는 것보다 빠르고, 배열이 곱셈을 분명히 드러내므로 더 정직하다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 3.MD.C.6 단계 1

팬을 격자로 그리기

팬을 직사각형으로 그리고 똑같은 $2$인치 정사각형으로 잘라 보자.
자른 선이 격자를 만든다.
각 작은 정사각형이 정확히 한 조각이고, 행과 열로 줄지어 있다.
이제 문제는 '이 격자 안에 정사각형이 몇 개인가?'일 뿐이다.

$$\underbrace{\;\square\;\square\;\cdots\;\square\;}_{\text{한 행의 조각들}}$$

💡 직사각형을 똑같은 정사각형으로 자르면 격자가 되고, 격자 안의 정사각형은 한눈에 셀 수 있다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.2 단계 2

각 변을 따라 조각 수 세기

각 변을 따라 $2$인치 조각이 몇 개 들어가는지 따로 구한다.
$20$인치 변을 따라서는 $20 \div 2 = 10$번 들어간다.
$18$인치 변을 따라서는 $18 \div 2 = 9$번 들어간다.
그래서 격자는 가로로 $10$열, 세로로 $9$행이다.

$$20 \div 2 = 10 \qquad 18 \div 2 = 9$$

💡 $2$인치 정사각형을 한 변을 따라 줄 세우는 것은 그 길이 안에 $2$가 몇 개 들어가는지 묻는 것, 즉 나눗셈과 같다.

#1 그림 그리기 3.OA.A.1 단계 3

행과 열을 곱하기

가로 $10$, 세로 $9$인 격자는 모두 $10 \times 9$개의 정사각형을 담는다.
$9$개의 각 행마다 조각이 $10$개씩 있기 때문이다.
그러면 $90$조각이고, 이것이 보기 (A)이다.

$$10 \times 9 = 90 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 직사각형 배열에서 전체 개수는 항상 행 $\times$ 열이다 — 하나씩 셀 필요가 없다.

[1] #1 3.MD.C.6 팬을 직사각형으로 그리고 똑같은 $2$인치 정사각형으로 잘라 보자. 자른 선이 격자를 만든다. 각 작은 정사각형이 정확히 한 조각이고, 행과 열

[2] #7 3.OA.A.2 각 변을 따라 $2$인치 조각이 몇 개 들어가는지 따로 구한다. $20$인치 변을 따라서는 $20 \div 2 = 10$번 들어간다. $18$인

[3] #1 3.OA.A.1 가로 $10$, 세로 $9$인 격자는 모두 $10 \times 9$개의 정사각형을 담는다. $9$개의 각 행마다 조각이 $10$개씩 있기 때문이

검토

합리성 확인: 넓이로 다시 확인하자. 팬은 $20 \times 18 = 360$제곱인치를 덮고, 각 조각은 $2 \times 2 = 4$제곱인치를 덮으므로, 조각 수는 $360 \div 4 = 90$이다. 같은 답 (A)이다. 또한 $90$이 가장 작은 보기인 것도 말이 된다. $200$이나 $360$ 같은 더 큰 보기는 $2\times 2$보다 작은 조각이어야 하므로 답이 되기엔 너무 크다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기): 각 조각이 $4$제곱인치이므로 조각 수는 전체 넓이 $360$을 나누어떨어지게 해야 한다. 보기 (E) $360$은 각 조각이 $1$제곱인치라는 뜻이고, (D) $200$은 $360$을 정수로 나누지도 못한다 — 둘 다 빠른 넓이 점검으로 지울 수 있고, 작은 격자 개수인 $90$만 남는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

3.MD.C.6 단위 정사각형을 세어 넓이 구하기 (잘린 팬을 똑같은 $2$인치 단위 정사각형들의 격자로 보고, 각 정사각형을 셀 한 조각으로 인식하기.)
3.OA.A.2 자연수의 몫 해석하기 (각 변의 길이를 조각 크기로 나누어 $20 \div 2 = 10$, $18 \div 2 = 9$로 각 변을 따라 조각 수 세기.)
3.OA.A.1 자연수의 곱을 묶음 속 물건의 총 개수로 해석하기 (행과 열을 곱하여 $10 \times 9 = 90$으로 직사각형 배열 속 조각의 총 개수 구하기.)

⭐ 직사각형을 똑같은 정사각형으로 자르면 격자가 된다 — 가로로 몇 개, 세로로 몇 개 들어가는지 세서 곱하면 끝.