AMC 8 · 2025 · #11

학년 3 geometry-2dcounting

유형 Grid Tiling / Packing with Divisibility └ 세부 유형 Fixed Piece Set — Feasibility by Elimination

area-rectanglesparity-coloringspatial-visualizationparity parity-coloringcaseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: area-rectanglesparity

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

3 × 4 직사각형을 다섯 가지 테트로미노 모양 I, O, L, T, S 중에서 고른 세 조각으로 빈틈없이 덮으려고 합니다(회전과 뒤집기 허용). 이 세 조각 중 하나는 반드시 S 타일이어야 할 때, 나머지 두 조각은 어떤 모양인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

I and L

(B)

I and T

(C)

L and L

(D)

L and S

(E)

O and T

AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

타일링 문제는 결국 그림 위에서 일어나는 일이므로, 도구 #1(그림 그리기)부터 시작합니다. 3 × 4 판을 체스판처럼 검은색·흰색으로 번갈아 칠해 두면, 각 테트로미노가 어느 색 칸을 몇 개 덮는지가 한눈에 보입니다 — 어려운 기하 문제가 간단한 "짝 맞추기" 산수로 바뀝니다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 색깔 균형을 깨는 선택지를 지웁니다. 이는 AMC 객관식의 정석입니다. 마지막으로 도구 #10(직접 만져보기): 남은 후보가 몇 개 안 되므로, 종이로 테트로미노를 직접 잘라(또는 모눈종이에 칸을 색칠해) S 와 함께 실제로 끼워 맞춰 봅니다. 직사각형이 완성되는 조합이 정답입니다.

1STEP 1

3 × 4 판을 체스판처럼 칠하면 12 칸이 검은 6, 흰 6 으로 나뉩니다.

3 × 4 = 12, 12 ÷ 2 = 6 검은 + 6 흰

2STEP 2

체스판에서 I, O, L, S 타일은 검은 2·흰 2 를 덮지만, T 타일은 한 색 3, 다른 색 1 을 덮습니다.

I, O, L, S → 2B+2W ; T → 3B+1W 또는 1B+3W

3STEP 3

S 가 검은 2·흰 2 를 쓰고 검은 4, 흰 4 가 남는데, T 는 T 하고만 짝지으므로 (B)·(E) 는 탈락합니다.

S 가 차지하고 남는 칸: 6-2=4 검은, 6-2=4 흰

4STEP 4

(A) 의 I 는 S 가 못 들어가는 2 × 4 띠를 남기고, (D) 의 S·S·L 도 틈을 남겨 (A)·(D) 모두 실패합니다.

(A) 실패: I 가 한 행 차지 → 2 × 4 띠가 L + S 로 채워지지 않음

5STEP 5

S 를 왼쪽 아래에 놓으면 빈 8 칸이 두 개의 L 모양으로 갈라져 S·L·L 타일링이 완성되므로 정답은 (C) 입니다.

S : {(1,2),(2,2),(2,1),(3,1)} + L : {(1,1),(1,3),(2,3),(3,3)} + L : {(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)} → (C)

정답

L and L

타일 세 조각이 각 4 칸이므로 총 12 칸을 덮고, 이는 3 × 4 = 12 인 판의 넓이와 정확히 맞아떨어집니다. 체스판 균형도 S 가 2+2, L 두 개가 각각 2+2 씩이라 합쳐서 검은 6, 흰 6 으로 보존됩니다. 위에서 적어 둔 S, L, L 의 구체적 배치는 모눈종이에 그려 보면 빈칸이나 겹침 없이 판을 채우는 것을 확인할 수 있으므로, 정답 (C) L 과 L 은 논리적으로도, 구성적으로도 모두 검증됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 3학년 때 배운 단위 정사각형 세기(와 살짝의 체스판 그림)만 알면 풀 수 있어요!

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