AMC 10 · 2012 · #7

쉬운 모드 학년 5

문제

작은 전구들이 줄에 $6$ 인치 간격으로 걸려 있다. 빨강, 빨강, 초록, 초록, 초록 — 이렇게 전구 다섯 개짜리 묶음이 계속 되풀이된다. 그다음도 빨강, 빨강, 초록, 초록, 초록이고, 이런 식으로 이어진다. 줄의 처음부터 빨간 전구를 세어 나갈 때, 3번째 빨간 전구와 21번째 빨간 전구는 몇 피트 떨어져 있는가?

참고: $1$ 피트는 $12$ 인치이다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

18.5

(C)

(D)

20.5

(E)

22.5

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 전구들이 한 줄로 걸려 있고, 이웃한 전구 사이 간격은 모두 $6$인치다. 색은 빨강, 빨강, 초록, 초록, 초록 묶음이 계속 반복된다. 3번째 빨간 전구와 21번째 빨간 전구 사이의 거리를 피트 단위로 구하라.

주어진 것: 이웃한 전구 사이의 간격은 $6$인치다; 색깔은 $RRGGG$ 묶음이 반복된다: 빨강 $2$개 뒤에 초록 $3$개; $1$피트 $= 12$인치; 선택지: (A) $18$, (B) $18.5$, (C) $20$, (D) $20.5$, (E) $22.5$

구하는 것: 3번째 빨간 전구와 21번째 빨간 전구 사이의 거리(피트)

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #1 그림 그리기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #8 단위 살펴보기

줄은 주기 $5$로 반복되므로, 도구 #5(패턴 찾기)를 쓰면 "21번째 빨간 전구는 몇 번째 전구인가?"가 하나씩 나열하는 문제가 아니라 나눗셈 문제로 바뀐다. 도구 #1(그림 그리기)은 대부분의 풀이를 무너뜨리는 지점 하나를 잡아 준다: 거리는 전구의 개수가 아니라 전구 사이 간격의 개수로 센다는 것이다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 교차 검증을 제공한다 — 빨간 전구 두 개만큼 앞으로 가는 아주 작은 경우를 먼저 풀고, 그것을 반복하면 된다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 마지막 인치에서 피트로의 환산을 놓치지 않게 해 준다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 4.MD.A.2 단계 1

거리는 전구가 아니라 간격을 센다

전구에 줄을 따라 $1, 2, 3, \dots$ 번호를 붙이자.
전구 $1$은 $0$인치, 전구 $2$는 $6$인치, 전구 $3$은 $12$인치 지점에 있으므로, 전구 $n$은 $6(n-1)$인치 지점에 있다.
빼면, $i$번 자리 전구와 $j$번 자리 전구 사이의 거리는 $6|i-j|$인치다.
핵심은 이것이 두 전구 사이의 *간격*을 센다는 점이고, 간격의 수는 언제나 그 구간의 전구 수보다 하나 적다.
그래서 문제 전체가 질문 하나로 줄어든다: 3번째와 21번째 빨간 전구는 몇 번 자리에 있는가?

$$n \text{번 자리는 } 6(n-1) \text{인치 지점} \;\Rightarrow\; \text{거리} = 6|i-j| \text{인치}$$

💡 전구는 울타리 기둥이고 $6$인치는 기둥 사이의 판자이므로, 세어야 할 것은 판자다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

두 빨간 전구의 자리 찾기

패턴은 전구 $5$개마다 반복되므로, 줄을 $5$개짜리 묶음으로 자르자.
$m$번째 묶음은 $5m-4$번 자리부터 $5m$번 자리까지이고, 그 안의 빨간 전구 두 개는 앞의 두 자리, 즉 $5m-4$번과 $5m-3$번이다.
모든 묶음이 빨간 전구를 정확히 $2$개씩 주므로, $m$번째 묶음에는 $2m-1$번째와 $2m$번째 빨간 전구가 들어 있다.
3번째 빨간 전구는 $3 = 2m-1$에서 $m = 2$이므로 $5(2)-4 = 6$번 자리다.
21번째 빨간 전구는 $21 = 2m-1$에서 $m = 11$이므로 $5(11)-4 = 51$번 자리다.
둘 다 홀수 번째 빨간 전구여서, 둘 다 자기 묶음의 *첫 번째* 빨강 — 패턴 안에서 같은 위치다.

$$\text{빨강 }\#3 \to \text{묶음 }2 \to 6\text{번 자리}; \qquad \text{빨강 }\#21 \to \text{묶음 }11 \to 51\text{번 자리}$$

💡 $5$개 묶음마다 빨강이 $2$개씩이라 빨강 번호와 묶음 번호가 나란히 움직이므로, 전구를 나열하지 않고 곧바로 $11$번째 묶음으로 건너뛸 수 있다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.C.5 단계 3

간격 45를 교차 검증하기

$51$번 자리와 $6$번 자리는 $51 - 6 = 45$개의 간격만큼 떨어져 있다.
이것을 같은 이동의 가장 작은 판본으로 따로 확인해 보자: 어떤 빨강에서 두 개 뒤의 빨강으로 가는 것은 한 묶음 뒤의 같은 위치로 가는 것이므로, 정확히 $+5$자리다.
빨강 $\#3$에서 빨강 $\#21$까지는 빨강 $21 - 3 = 18$개만큼의 도약이고, 한 번의 이동이 빨강 $2$개를 지나므로 $\frac{18}{2} = 9$번 반복이며, $9 \times 5 = 45$자리가 된다.
값이 깔끔하게 떨어지는 이유가 바로 이것이다: $21$과 $3$의 차가 *짝수*라서 두 빨강이 각자 묶음의 같은 위치에 놓이고, 거리가 묶음의 정수 배가 된다.
두 번호의 차가 홀수였다면 간격은 $45$가 아니라 $45 \pm 1$이 되었을 것이다.

$$51 - 6 = 45 \qquad\text{그리고}\qquad \frac{21-3}{2} \times 5 = 9 \times 5 = 45 \;\checkmark$$

💡 빨강 두 개를 지날 때마다 정확히 $5$개짜리 묶음 하나를 지나므로, 그 작은 이동을 아홉 번 반복하면 전체 이동이 된다.

#8 단위 살펴보기 4.NBT.B.5 단계 4

간격 45개를 인치로 바꾸기

$45$개의 간격이 각각 $6$인치이므로, 전체 거리는 $45 \times 6 = 270$인치다.
여기서 곱하는 것은 간격의 수이지 전구의 수가 아니라는 점에 주의하자: $6$번 자리부터 $51$번 자리까지에는 전구가 $46$개 있지만 간격은 $45$개뿐이고, 여기서 $46$을 쓰면 반 피트만큼 더 나온다.

$$45 \times 6 = 270 \text{인치}$$

💡 간격이 모두 같으므로 $6$인치를 마흔다섯 번 더하는 대신 곱셈 한 번이면 된다.

#8 단위 살펴보기 5.MD.A.1 단계 5

피트로 바꾸고 답하기

문제는 피트를 묻고 $1$피트는 $12$인치이므로 나눈다: $270 \div 12 = 22.5$피트.
여기서 묶음 번호를 조심하자 — 21번째 빨강을 $11$번째가 아니라 $10$번째 묶음에 두면 $46$번 자리가 되어 간격이 $40$개, $240$인치 $= 20$피트가 나오는데, 이것이 바로 함정 선택지 (C)다.
올바른 답은 $22.5$피트, 선택지 (E)다.

$$270 \div 12 = 22.5 \text{피트} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 피트는 인치보다 큰 단위이므로 수는 작아져야 한다 — $12$로 나누는 것만이 말이 되는 방향이다.

[1] #1 4.MD.A.2 전구에 줄을 따라 $1, 2, 3, \dots$ 번호를 붙이자. 전구 $1$은 $0$인치, 전구 $2$는 $6$인치, 전구 $3$은 $12$인치

[2] #5 4.OA.C.5 패턴은 전구 $5$개마다 반복되므로, 줄을 $5$개짜리 묶음으로 자르자. $m$번째 묶음은 $5m-4$번 자리부터 $5m$번 자리까지이고, 그

[3] #9 4.OA.C.5 $51$번 자리와 $6$번 자리는 $51 - 6 = 45$개의 간격만큼 떨어져 있다. 이것을 같은 이동의 가장 작은 판본으로 따로 확인해 보자:

[4] #8 4.NBT.B.5 $45$개의 간격이 각각 $6$인치이므로, 전체 거리는 $45 \times 6 = 270$인치다. 여기서 곱하는 것은 간격의 수이지 전구의 수가

[5] #8 5.MD.A.1 문제는 피트를 묻고 $1$피트는 $12$인치이므로 나눈다: $270 \div 12 = 22.5$피트. 여기서 묶음 번호를 조심하자 — 21번째

검토

합리성 확인: 줄의 앞부분을 직접 적어서 자리 규칙을 확인해 보자: $1, 2$번 자리는 빨강, $3, 4, 5$번은 초록, $6, 7$번은 빨강, $8, 9, 10$번은 초록, $11, 12$번은 빨강이다. 그러면 빨강은 $1, 2, 6, 7, 11, 12, \dots$번 자리에 오므로, 빨강 $\#3$이 정말 $6$번 자리이고 묶음 공식과 일치한다. 크기도 타당하다: 간격 $45$개가 각각 반 피트이므로 $22.5$피트이고, 두 빨강이 전구 간격 $\frac{1}{2}$피트짜리 줄에서 $45$자리 떨어져 있으니 $22$나 $23$피트 근처가 맞는 범위다. 오답 선택지는 모두 $22.5$보다 작은데, 이는 적게 센 흔적이다 — 묶음 하나를 빠뜨렸거나(선택지 (C), $20$), $6$인치를 전구 사이 간격이 아니라 빨강끼리의 간격으로 잘못 본 경우다.

대안 접근: 묶음 번호 대신 밀도로 풀 수도 있다. 빨간 전구는 연속한 자리 $5$개마다 정확히 $2$개라는 일정한 비율로 나타나므로, 빨강 $18$개만큼 나아가면 자리는 $18 \times \frac{5}{2} = 45$만큼 나아간다. 이 한 줄이 묶음 계산 전체를 대신하며, 이것이 정확히 맞는 이유는 바로 $18$이 짝수이기 때문이다: 짝수 개의 빨강은 정수 개의 묶음이므로, 남는 반쪽 묶음이 수를 흔들 수 없다. 식으로 쓰면 홀수 번째 빨강 $\#k$는 $\frac{5k-3}{2}$번 자리에 있으므로 $\frac{5(21)-3}{2} - \frac{5(3)-3}{2} = 51 - 6 = 45$개의 간격이고, 따라서 $\frac{45 \times 6}{12} = 22.5$피트로 같은 답이 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.MD.A.2 Solve word problems involving distances, time, liquid volumes, and money (줄을 일정한 간격의 점들로 모형화하여, 거리가 전구의 개수가 아니라 간격의 개수 곱하기 $6$인치임을 세우기.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (주기 $5$의 반복을 이용해 빨강 $\#3$을 $6$번 자리에, 빨강 $\#21$을 $51$번 자리에 놓고, 빨강 $2$개당 자리 $+5$라는 규칙을 정당화하기.)
4.NBT.B.5 Multiply a whole number of up to four digits by a one-digit whole number (간격 $45$개를 길이로 바꾸기: $45 \times 6 = 270$인치.)
5.MD.A.1 Convert among different-sized standard measurement units within a given system (문제가 피트를 요구하므로 $270$인치를 $12$로 나누어 피트로 바꾸기.)
5.NBT.B.7 Add, subtract, multiply, and divide decimals to hundredths (정수로 떨어지지 않는 몫 $270 \div 12 = 22.5$를 다루고 소수로 된 선택지와 비교하기.)

⭐ 먼저 전구에 번호를 붙이고, 관심 있는 두 전구 사이의 간격을 세라 — 전구 $5$개마다 반복되고 그 안에 빨강이 $2$개인 묶음에서는, 빨강 $18$개만큼 건너뛰는 것이 언제나 전구 $45$개만큼 건너뛰는 것이다.