AMC 10 · 2015 · #6
쉬운 모드 학년 5틸리의 곱셈표에는 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 각각에 해당하는 행이 하나씩 있고, 같은 수들에 해당하는 열도 하나씩 있습니다. 이 수들은 모두 13개이므로, 0인 행과 0인 열까지 세면 표는 13행 13열입니다. 표 안의 각 칸에는 그 칸의 행 이름과 열 이름을 곱한 값이 들어 있습니다. 표 안에 있는 수들 중에서 홀수가 차지하는 비율은 얼마일까요? 답은 소수로 나타내고 소수 둘째 자리까지 반올림하세요.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 곱셈표의 행과 열에 $0$부터 $12$까지의 정수가 이름표로 붙어 있다. 표의 몸통에 있는 각 칸에는 그 행의 이름표와 열의 이름표를 곱한 값이 들어 있다. 그 칸들 중 홀수가 들어 있는 칸의 비율을 소수 둘째 자리까지 반올림해서 구하라.
주어진 것: 곱셈 사실이 $0 \times 0$부터 $12 \times 12$까지이므로, 행 이름표는 $0, 1, 2, \ldots, 12$이고 열 이름표도 같은 목록이다.; 표의 몸통은 행과 열이 만나는 모든 칸이고, 각 칸에는 두 이름표의 곱이 들어 있다.; 이름표 자체는 몸통 바깥에 있으므로 항목으로 세지 않는다.
구하는 것: 표의 몸통에서 값이 홀수인 칸의 개수.; 그 개수를 전체 칸 수로 나눈 값을 소수 둘째 자리까지 반올림한 결과.
이해
문제 재정리: 곱셈표의 행과 열에 $0$부터 $12$까지의 정수가 이름표로 붙어 있다. 표의 몸통에 있는 각 칸에는 그 행의 이름표와 열의 이름표를 곱한 값이 들어 있다. 그 칸들 중 홀수가 들어 있는 칸의 비율을 소수 둘째 자리까지 반올림해서 구하라.
주어진 것: 곱셈 사실이 $0 \times 0$부터 $12 \times 12$까지이므로, 행 이름표는 $0, 1, 2, \ldots, 12$이고 열 이름표도 같은 목록이다.; 표의 몸통은 행과 열이 만나는 모든 칸이고, 각 칸에는 두 이름표의 곱이 들어 있다.; 이름표 자체는 몸통 바깥에 있으므로 항목으로 세지 않는다.
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #1 그림 그리기, #5 패턴 찾기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #16 관점 바꾸기, #3 가능성 지우기
$169$개의 곱을 전부 계산하고 싶은 사람은 없다. 문제는 각 값이 홀수인지만 묻고, 곱이 홀수인지는 오직 두 이름표의 홀짝에만 달려 있다. 그래서 계획은 이렇다. 먼저 몸통에 칸이 정확히 몇 개인지 확정하고, 다음으로 곱의 홀짝 규칙을 양쪽 방향 모두 증명하고, 그다음 홀수 이름표를 세어 곱한다. 결과 전체가 진술하기는 쉽지만 틀리기도 쉬운 두 주장 — 몸통의 행이 $12$개가 아니라 $13$개라는 것과, 곱이 홀수인 것은 두 인수가 모두 홀수일 때뿐이라는 것 — 위에 놓여 있으므로, 각각을 가정하지 않고 따로 증명한다. 그런 다음 여집합 세기와 선택지에 대한 크기 어림으로, 같은 계산을 재사용하지 않는 두 경로로 결과를 점검한다.
실행 — 정답: A
5.NBT.B.5 단계 1 몸통의 칸 수 세기
- 표를 그려 보자.
- 왼쪽에 행 이름표 띠, 위쪽에 열 이름표 띠가 있고, 그 사이의 직사각형을 몸통이 채운다.
- 곱셈 사실이 $0 \times 0$부터 $12 \times 12$까지이므로 $0$부터 $12$까지의 모든 이름표가 각 띠에 한 번씩 나온다.
- 그 목록은 $0, 1, 2, \ldots, 12$이고, 개수는 $12 - 0 + 1 = 13$이다.
- 모든 행은 모든 열과 정확히 한 칸에서 만나므로 몸통은 $13$ 곱하기 $13$ 직사각형이고, 항목은 $13 \times 13 = 169$개다.
- $0$번 행과 $0$번 열도 몸통의 엄연한 행과 열이다.
- 거기에는 $0 \times 0$부터 $0 \times 12$까지의 곱이 다른 칸과 똑같이 들어 있다.
- 그것들을 빼면 $144$칸짜리 $12$ 곱하기 $12$ 몸통이 남는데, 그것은 문제에 서술된 표와 다른 표다.
💡 $0$에서 시작해 $12$에서 끝나는 목록에는 $13$개의 수가 있으므로, 몸통은 "$12$단 곱셈표"라는 이름이 주는 느낌보다 행도 하나, 열도 하나 더 크다.
3.OA.B.5 단계 2 곱이 언제 홀수인지 증명하기
- 주장: 정수 $a$, $b$에 대해 곱 $a \times b$가 홀수인 것은 $a$도 홀수이고 $b$도 홀수일 때뿐이다.
- 세는 데 양쪽 방향이 모두 쓰이므로 둘 다 확인해야 한다.
- 첫째, 인수 중 적어도 하나가 짝수라고 하자.
- 예를 들어 $a = 2m$이면 $a \times b = 2m \times b = 2 \times (m \times b)$이므로 정수의 두 배, 즉 짝수다.
- $b$가 짝수여도 같은 논증이 통한다.
- 그러니 짝수 인수가 하나라도 있으면 곱은 반드시 짝수가 되고, 이것이 칸을 제외하는 근거다.
- 둘째, 두 인수가 모두 홀수라고 하자.
- $a = 2m + 1$, $b = 2n + 1$이면 $a \times b = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2 \times (2mn + m + n) + 1$이므로 짝수보다 $1$ 큰 수, 즉 홀수다.
- 이것이 칸을 포함하는 근거다.
- 두 방향을 합치면, 홀수 칸은 두 이름표가 모두 홀수인 칸과 정확히 일치한다.
- 더도 덜도 아니다.
💡 곱 어딘가에 인수 $2$가 하나라도 있으면 끝까지 살아남고, 어느 인수도 $2$를 가지고 있지 않으면 $2$가 새로 생겨날 길이 없다.
2.OA.C.3 단계 3 홀수 이름표 나열하기
- 이제 이름표 목록 $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$를 훑어 홀수만 골라내자.
- $1, 3, 5, 7, 9, 11$, 즉 $6$개다.
- 나머지 $7$개인 $0, 2, 4, 6, 8, 10, 12$는 짝수다.
- $0 = 2 \times 0$이므로 $0$은 짝수 쪽에 속한다는 점에 주의하자.
- 따라서 $0$번 행과 $0$번 열은 전체 칸 수는 늘리면서도 홀수 항목은 하나도 만들지 않는다.
- 두 띠가 같은 목록을 갖고 있으므로 홀수 행이 $6$개, 홀수 열이 $6$개다.
💡 짝수로 시작해 짝수로 끝나는 연속된 정수 구간에서는 짝수가 홀수보다 정확히 하나 많다.
3.OA.A.1 단계 4 홀수 칸 세기
- 방금 증명한 규칙에 따라, 어떤 칸이 홀수인 것은 그 행 이름표가 홀수이고 열 이름표도 홀수일 때뿐이다.
- 그러니 홀수 칸들은 몸통 안에서 자기들만의 작은 직사각형을 이룬다.
- 홀수 행 $6$개와 홀수 열 $6$개가 교차하는 부분이다.
- 홀수 행 하나는 홀수 열 하나마다 홀수 칸을 하나씩 내놓으므로 홀수 행 $6$개는 각각 홀수 항목을 $6$개씩 갖고, 짝수 행은 하나도 갖지 않는다.
- 그러면 홀수 항목은 모두 $6 \times 6 = 36$개다.
- 손으로 확인할 만큼 작은 표로 이 방법을 시험해 보자.
- 이름표가 $0, 1, 2$이면 몸통은 $0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 2, 4$이고 홀수 항목은 정확히 하나다.
- 규칙이 예측하는 값도 홀수 이름표가 $1$ 하나뿐이므로 $1 \times 1 = 1$이다.
- 방법이 통한다.
💡 홀수 행과 홀수 열의 교차 부분 자체가 하나의 곱셈표이므로, 홀수 칸들은 $13$ 곱하기 $13$ 표 안에 숨어 있는 $6$ 곱하기 $6$ 블록이다.
4.NBT.B.4 단계 5 짝수를 세어 교차 검증하기
- 나누기 전에, $36$이라는 개수를 그것과 계산을 전혀 공유하지 않는 경로로 확인하자.
- 대신 짝수 항목을 세고 빼는 것이다.
- 짝수 항목은 이름표 중 적어도 하나가 짝수인 곳마다 나타난다.
- 이를 겹치지 않는 두 경우로 나눈다.
- 경우 하나: 행 이름표가 짝수다.
- 그런 행이 $7$개이고 그 $13$칸이 모두 짝수이므로 $7 \times 13 = 91$개다.
- 경우 둘: 행 이름표는 홀수이고 열 이름표가 짝수다.
- 그런 행이 $6$개, 열이 $7$개이므로 $6 \times 7 = 42$개다.
- 행 이름표는 짝수이거나 홀수이거나 둘 중 하나이므로 두 경우는 겹칠 수 없고, 둘을 합치면 모든 짝수 항목을 빠짐없이 덮는다.
- 따라서 짝수 항목은 $91 + 42 = 133$개이고, 홀수 항목은 $169 - 133 = 36$개가 남는다.
- 두 개수가 일치한다.
💡 원하지 않는 것을 세어 빼는 것은 진짜로 다른 계산이므로, 두 결과가 맞아떨어지면 같은 실수를 되풀이한 것이 아니라 실질적인 증거가 된다.
5.NBT.A.4 단계 6 나눗셈 없이 반올림하기
- 홀수 항목의 비율은 $\frac{36}{169}$이다.
- 소수 둘째 자리까지 반올림한다는 것은 이 값이 어느 백분위 수에 가장 가까운지 정하는 일이고, 그러려면 이 값이 어떤 두 값 사이에 있는지만 알면 된다.
- 경계가 되는 중간 지점은 $0.205 = \frac{41}{200}$과 $0.215 = \frac{43}{200}$이다.
- 모든 것을 정수로 유지하는 교차 곱셈으로 비교하자.
- 아래쪽 경계와 비교하면 $36 \times 200 = 7200$이고 $41 \times 169 = 6929$인데 $7200 > 6929$이므로 $\frac{36}{169} > 0.205$다.
- 위쪽 경계와 비교하면 $36 \times 200 = 7200$이고 $43 \times 169 = 7267$인데 $7200 < 7267$이므로 $\frac{36}{169} < 0.215$다.
- 값이 $0.21$을 둘러싼 두 중간 지점 사이에 확실히 갇혔으므로 $0.21$로 반올림된다.
- 긴 나눗셈도 필요 없고, 잘못 읽을 자릿수도 없다.
💡 분수를 반올림할 때 필요한 것은 자릿수가 아니라 가장 가까운 두 중간 지점 중 어느 쪽에 놓이는지뿐이다.
4.NF.A.2 단계 7 선택지와 대조해 확정하기
- 앞의 개수를 재사용하지 않는 마지막 점검이다.
- 홀수 이름표는 $13$개 중 $6$개인데, $6 \times 2 = 12$가 $13$보다 작으므로 $\frac{6}{13} < \frac{1}{2}$이다.
- 홀수 항목은 홀수 행과 홀수 열이 동시에 필요하므로 홀수 항목의 비율은 $\frac{6}{13} \times \frac{6}{13}$이고, 이는 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0.25$보다 작다.
- 따라서 답은 반드시 $0.25$보다 작아야 하고, 다섯 선택지 중 그 조건을 만족하는 것은 $0.21$뿐이다.
- $0.25$는 $0$을 빼 버린 $12$ 곱하기 $12$ 몸통에서 나오는 값, 즉 잘못된 표에서 나오는 값이다.
- 이것은 계산한 값 $\frac{36}{169} \approx 0.21$과 일치하므로, 답은 $\textbf{(A)}\; 0.21$이다.
💡 짝수 이름표 $0$을 넣으면 분모만 커지고 홀수 항목은 하나도 늘지 않으므로, 비율은 내려갈 수밖에 없다.
5.NBT.B.5 표를 그려 보자. 왼쪽에 행 이름표 띠, 위쪽에 열 이름표 띠가 있고, 그 사이의 직사각형을 몸통이 채운다. 곱셈 사실이 $0 \times 0$ 3.OA.B.5 주장: 정수 $a$, $b$에 대해 곱 $a \times b$가 홀수인 것은 $a$도 홀수이고 $b$도 홀수일 때뿐이다. 세는 데 양쪽 방향이 2.OA.C.3 이제 이름표 목록 $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$를 훑어 홀수만 골라내자. $1, 3, 5, 7, 3.OA.A.1 방금 증명한 규칙에 따라, 어떤 칸이 홀수인 것은 그 행 이름표가 홀수이고 열 이름표도 홀수일 때뿐이다. 그러니 홀수 칸들은 몸통 안에서 자기들 4.NBT.B.4 나누기 전에, $36$이라는 개수를 그것과 계산을 전혀 공유하지 않는 경로로 확인하자. 대신 짝수 항목을 세고 빼는 것이다. 짝수 항목은 이름표 5.NBT.A.4 홀수 항목의 비율은 $\frac{36}{169}$이다. 소수 둘째 자리까지 반올림한다는 것은 이 값이 어느 백분위 수에 가장 가까운지 정하는 일 4.NF.A.2 앞의 개수를 재사용하지 않는 마지막 점검이다. 홀수 이름표는 $13$개 중 $6$개인데, $6 \times 2 = 12$가 $13$보다 작으므로 검토
합리성 확인: 값 $\frac{36}{169} \approx 0.213$은 어떤 비율이든 그래야 하듯 $0$과 $1$ 사이에 있고, $\frac{1}{4}$보다 조금 작다. 이름표의 절반보다 약간 적은 수가 홀수이고 홀수 항목은 그런 이름표가 한꺼번에 둘 필요하니, 딱 있어야 할 자리다. 직접 확인해도 맞는다. $7$번 행에는 $0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84$가 있고 그중 $7, 21, 35, 49, 63, 77$이 홀수로 여섯 개인데, 이는 홀수 열마다 하나씩이라는 예측과 일치한다. 반면 $8$번 행에는 짝수만 있다. 두 함정도 눈에 보인다. $0$ 이름표를 잊으면 $\frac{36}{144} = 0.25$, 즉 선택지 (B)가 나오고, 홀수 이름표를 전체의 절반으로 잡아도 다시 $0.25$가 나온다. 그러니 $0.25$에 도달한 풀이는 어딘가에서 $0$번 행과 $0$번 열을 슬며시 빠뜨린 것이다.
대안 접근: 모든 항목을 그 홀짝으로 바꾸고 표를 개수가 아니라 패턴으로 읽는 방법이 있다. 홀수는 $1$, 짝수는 $0$으로 쓰면, 이 홀짝 표는 이름표 홀짝 띠 $0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0$을 자기 자신과 곱해 만든 격자이므로 $1$은 $1$과 $1$이 만나는 자리에만 나타난다. 한 칸씩 건너뛴 행과 한 칸씩 건너뛴 열에만 $1$이 놓인 체커보드 모양이다. 그런 격자에서 $1$을 세면 다시 $6 \times 6 = 36$이지만, 계산이 아니라 눈으로 도달한다는 점이 다르다. 세 번째 경로는 확률이다. 칸을 무작위로 하나 고르면 행 이름표가 홀수일 확률은 $\frac{6}{13}$이고 열 이름표도 그와 독립적으로 같으므로, 그 칸의 값이 홀수일 확률은 $\frac{6}{13} \times \frac{6}{13} = \frac{36}{169}$이다. 세 경로 모두 같은 분수에 도달한다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
2.OA.C.3Determine whether a group of objects has an odd or even number (이름표 $0$부터 $12$까지를 홀수 $6$개와 짝수 $7$개로 가르는 데 사용. $0$이 짝수라는 인식도 포함된다.)3.OA.A.1Interpret products of whole numbers as total number of objects in groups (홀수 칸을 홀수 행 $6$개가 각각 홀수 항목 $6$개를 갖는 것으로 읽어 $6 \times 6 = 36$을 얻는 데 사용.)3.OA.B.5Apply properties of operations as strategies to multiply and divide ($a = 2m$일 때 $ab = 2(mb)$로 묶고 $(2m+1)(2n+1) = 2(2mn+m+n)+1$로 전개하여, 곱이 홀수인 것은 두 인수가 모두 홀수일 때뿐임을 증명하는 데 사용.)4.NBT.B.4Fluently add and subtract multi-digit whole numbers (여집합 점검에 사용. 짝수 항목 $91 + 42 = 133$개, 홀수 항목 $169 - 133 = 36$개.)4.NF.A.2Compare two fractions with different numerators and different denominators ($\frac{6}{13} < \frac{1}{2}$를 보여 홀수 항목의 비율을 $\frac{1}{4}$ 아래로 묶고 $0.21$ 외의 선택지를 모두 지우는 데 사용.)5.NBT.A.4Round decimals to any place ($\frac{36}{169}$을 중간 지점 $\frac{41}{200}$과 $\frac{43}{200}$ 사이에 가둬 $0.21$로 반올림된다고 판정하는 데 사용.)5.NBT.B.5Fluently multiply multi-digit whole numbers (표 몸통의 크기를 $13 \times 13 = 169$칸으로 구하는 데 사용.)
⭐ 곱은 모든 인수가 홀수일 때만 홀수이므로, 곱셈표에서 홀수 항목을 세는 일은 홀수 행 이름표 수와 홀수 열 이름표 수를 곱하는 일일 뿐이다. 그리고 $0$의 행과 열도 표의 일부로 세야 한다.
⭐ 곱은 모든 인수가 홀수일 때만 홀수이므로, 곱셈표에서 홀수 항목을 세는 일은 홀수 행 이름표 수와 홀수 열 이름표 수를 곱하는 일일 뿐이다. 그리고 $0$의 행과 열도 표의 일부로 세야 한다.
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