AMC 10 · 2002 · #16

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basicindependent-eventsmultiples complementary-counting ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

후안이 1부터 8까지 적힌 공정한 정팔면체 주사위를 굴리고, 이어서 아말이 공정한 보통 육면체 주사위를 굴린다. 두 수의 곱이 3의 배수가 될 확률을 구한다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac 1{12}$

(B)

$\frac 13$

(C)

$\frac 12$

(D)

$\frac 7{12}$

(E)

$\frac 23$

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

"곱이 3의 배수" 는 사실 "적어도 하나" 라는 말이 모습을 바꾼 것이고, "적어도 하나" 는 거의 언제나 거꾸로 세는 편이 싸다. 먼저 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)이 그 번역을 맡는데, 3이 소수라는 사실을 써서 곱에 대한 진술을 두 굴림 각각에 대한 진술로 바꾼다. 이어서 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)로 각 주사위에 3의 배수인 면이 몇 개인지 읽어낸다. 도구 #16 (관점 바꾸기)은 두 굴림 모두 3의 배수가 아닐 확률 — 깔끔한 곱셈 한 번 — 을 구해 1 에서 뺀다. 도구 #12 (벤 다이어그램 그리기)는 교차 확인용으로 남겨 둔다. 겹치는 두 사건을 더하는 방식으로도 같은 답이 나와야 하기 때문이다.

1STEP 1

곱을 두 굴림으로 바꾸기

3이 소수이므로 곱이 3의 배수인 것은 적어도 한 굴림이 그럴 때다.

3 ∣ jm ⇔ 3 ∣ j 또는 3 ∣ m

2STEP 2

각 주사위의 3의 배수 세기

각 주사위에 3의 배수가 둘씩 있어 확률은 1/4과 1/3이다.

P(후안) = 2/8 = 1/4, P(아말) = 2/6 = 1/3

3STEP 3

둘 다 아닌 경우로 뒤집기

두 굴림은 독립이므로 둘 다 아닐 확률은 1/2이다.

P(둘 다 아님) = 3/4 · 2/3 = 6/12 = 1/2

4STEP 4

1 에서 빼기

1에서 빼면 1/2, 보기 (C).

1 - 1/2 = 1/2 → (C)

정답

1/2

확률 대신 경우의 수를 직접 세어 보자. 두 굴림의 순서쌍은 8 × 6 = 48 가지이고 모두 가능성이 같다. 두 굴림 모두 3의 배수가 아닌 경우는 6 × 4 = 24 가지다 (후안은 안전한 면이 6 개, 아말은 4 개). 따라서 곱이 3으로 나누어떨어지는 경우는 48 - 24 = 24 가지이고 24/48 = 1/2로 일치한다. 크기 감각도 맞다. 아말 혼자서도 1/3의 몫을 주므로 전체는 1/3 보다 커야 하고, 그래서 (A)와 (B)는 탈락한다. 또 1/4 + 1/3 = 7/12 보다는 작아야 한다. 두 확률을 그냥 더하면 둘 다 3의 배수인 경우를 두 번 세기 때문이며, (D) 7/12는 바로 그 겹침을 잊는 함정이다.

💡핵심 정리

"적어도 하나" 는 한 번도 일어나지 않을 확률을 구해 1 에서 빼면 된다 — 곱셈 한 번이 여러 경우를 이긴다.

곱을 두 굴림으로 바꾸기
각 주사위의 3의 배수 세기
둘 다 아닌 경우로 뒤집기
1 에서 빼기

곱을 두 굴림으로 바꾸기

각 주사위의 3의 배수 세기

둘 다 아닌 경우로 뒤집기

1 에서 빼기

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