AMC 10 · 2021 · #8
쉬운 모드 학년 4수를 늘어놓은 목록이 0, 0, 1로 시작합니다. 이 세 자리를 각각 0번, 1번, 2번 자리라고 부릅니다.
그 뒤의 수는 모두 한 가지 규칙을 따릅니다. 바로 앞 자리의 수와 세 자리 앞의 수를 더한 값입니다. 그래서 3번 자리의 수는 1+0=1입니다.
2021번, 2022번, 2023번 자리의 수는 너무 커서 적을 수 없지만, 우리는 각각이 짝수인지 홀수인지만 알면 됩니다. 짝수를 E, 홀수를 O로 나타낼 때, 이 세 답을 순서대로 바르게 적은 것은 무엇일까요?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 수열이 $D_0 = 0$, $D_1 = 0$, $D_2 = 1$로 시작하고, 그다음부터는 각 항이 바로 앞 항에 세 칸 앞의 항을 더한 값입니다: $D_n = D_{n-1} + D_{n-3}$. $D_{2021}$, $D_{2022}$, $D_{2023}$ 각각이 짝수($E$)인지 홀수($O$)인지를 순서대로 답해야 합니다.
주어진 것: 시작값 $D_0 = 0$, $D_1 = 0$, $D_2 = 1$; $n \ge 3$ 에서 점화식 $D_n = D_{n-1} + D_{n-3}$; 각 항의 값이 아니라 짝수·홀수(패리티)만 물음; 선택지: (A) $(O,E,O)$, (B) $(E,E,O)$, (C) $(E,O,E)$, (D) $(O,O,E)$, (E) $(O,O,O)$
구하는 것: $D_{2021}$의 패리티; $D_{2022}$의 패리티; $D_{2023}$의 패리티
이해
문제 재정리: 수열이 $D_0 = 0$, $D_1 = 0$, $D_2 = 1$로 시작하고, 그다음부터는 각 항이 바로 앞 항에 세 칸 앞의 항을 더한 값입니다: $D_n = D_{n-1} + D_{n-3}$. $D_{2021}$, $D_{2022}$, $D_{2023}$ 각각이 짝수($E$)인지 홀수($O$)인지를 순서대로 답해야 합니다.
주어진 것: 시작값 $D_0 = 0$, $D_1 = 0$, $D_2 = 1$; $n \ge 3$ 에서 점화식 $D_n = D_{n-1} + D_{n-3}$; 각 항의 값이 아니라 짝수·홀수(패리티)만 물음; 선택지: (A) $(O,E,O)$, (B) $(E,E,O)$, (C) $(E,O,E)$, (D) $(O,O,E)$, (E) $(O,O,O)$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기
도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 문제를 다룰 수 있게 만듦 — 합의 패리티는 부분들의 패리티로 정해지므로 실제 크기를 버리고 짝수·홀수만 남김. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 $n = 0$부터 빠짐없이 패리티 표를 만듦. 도구 #5(패턴 찾기)가 결정타 — 패리티 나열이 반복되며, 반복 주기를 알면 지수 $2021$이 아주 작은 번호로 줄어듦. 도구 #3(가능성 지우기)으로 얻은 삼중항을 다섯 보기와 대조.
실행 — 정답: C
2.OA.C.3 단계 1 크기 대신 패리티만 추적
- $D_{2021}$은 적어 내려갈 수 없을 만큼 크지만, 문제는 짝수인지 홀수인지만 묻습니다.
- 합의 패리티는 더하는 두 수의 패리티만으로 완전히 결정됩니다 — 짝수+짝수=짝수, 짝수+홀수=홀수, 홀수+홀수=짝수.
- 따라서 $D_n = D_{n-1} + D_{n-3}$을 숫자 없이 $E$ 와 $O$ 두 기호만으로 돌릴 수 있습니다.
💡 짝수·홀수는 버튼이 두 개뿐인 계산기처럼 움직여서, 불가능한 계산이 두 기호의 게임으로 줄어듭니다.
4.OA.C.5 단계 2 앞쪽 항 만들기
세 시작값에서 점화식을 한 항씩 앞으로 굴립니다: $D_3 = D_2 + D_0 = 1$, $D_4 = D_3 + D_1 = 1$, $D_5 = D_4 + D_2 = 2$, $D_6 = D_5 + D_3 = 3$, $D_7 = D_6 + D_4 = 4$, $D_8 = D_7 + D_5 = 6$, $D_9 = D_8 + D_6 = 9$, $D_{10} = D_9 + D_7 = 13$.
💡 주어진 규칙으로 몇 항만 실제로 만들어 보는 것이 수열의 정체를 보는 가장 싼 방법입니다.
4.OA.C.5 단계 3 패리티 줄로 바꾸기
- 각 항을 $E$ 또는 $O$ 로 바꿉니다.
- $n = 0$부터 $0,0,1,1,1,2,3,4,6,9,13$은 $E,E,O,O,O,E,O,E,E,O,O$ 가 됩니다.
- 번호 $0$부터 $6$ 까지를 읽으면 덩어리 $E,E,O,O,O,E,O$ 입니다.
💡 표를 두 기호로만 줄이면 원래 숫자가 감추고 있던 반복이 드러납니다.
3.OA.D.9 단계 4 반복 발견: 주기 7
- $n = 7,8,9$의 패리티를 $n = 0,1,2$와 비교하면 둘 다 $(E,E,O)$입니다.
- 새 항은 최근 세 항으로만 만들어지므로, 연속 세 항의 패리티가 한 번 되돌아오면 그 뒤 모든 패리티도 똑같이 반복됩니다.
- 따라서 패리티 수열은 주기 $7$로 순환하고, $D_n$ 과 $D_{n+7}$은 항상 같은 패리티를 갖습니다.
💡 세 칸까지만 뒤돌아보는 규칙은 그보다 먼 기억이 없어서, 세 항 상태가 반복되면 미래 전체가 반복될 수밖에 없습니다.
4.NBT.B.6 단계 5 2021, 2022, 2023을 7로 나눈 나머지
- 주기가 $7$ 이므로 번호를 $7$로 나눈 나머지만 중요합니다.
- $7 \times 288 = 2016$ 이므로 $2021 = 7 \times 288 + 5$, 나머지 $5$.
- 다음 두 번호의 나머지는 $6$과 $0$입니다.
💡 주기성은 네 자리 번호를 나머지 하나로 줄여 줍니다 — 순환이 볼 수 있는 것은 그것뿐입니다.
4.OA.C.5 단계 6 표에서 답 읽기
- 패리티 덩어리 $E,E,O,O,O,E,O$ 에서 자리 $5$, $6$, $0$을 찾습니다: 자리 $5$는 $E$, 자리 $6$은 $O$, 자리 $0$은 $E$.
- 따라서 $(D_{2021}, D_{2022}, D_{2023})$의 패리티는 $(E, O, E)$, 즉 (C)입니다.
💡 번호만 줄여 놓으면 답은 단순한 표 조회입니다.
2.OA.C.3 $D_{2021}$은 적어 내려갈 수 없을 만큼 크지만, 문제는 짝수인지 홀수인지만 묻습니다. 합의 패리티는 더하는 두 수의 패리티만으로 완전히 4.OA.C.5 세 시작값에서 점화식을 한 항씩 앞으로 굴립니다: $D_3 = D_2 + D_0 = 1$, $D_4 = D_3 + D_1 = 1$, $D_5 = 4.OA.C.5 각 항을 $E$ 또는 $O$ 로 바꿉니다. $n = 0$부터 $0,0,1,1,1,2,3,4,6,9,13$은 $E,E,O,O,O,E,O,E,E,O 3.OA.D.9 $n = 7,8,9$의 패리티를 $n = 0,1,2$와 비교하면 둘 다 $(E,E,O)$입니다. 새 항은 최근 세 항으로만 만들어지므로, 연속 4.NBT.B.6 주기가 $7$ 이므로 번호를 $7$로 나눈 나머지만 중요합니다. $7 \times 288 = 2016$ 이므로 $2021 = 7 \times 2 4.OA.C.5 패리티 덩어리 $E,E,O,O,O,E,O$ 에서 자리 $5$, $6$, $0$을 찾습니다: 자리 $5$는 $E$, 자리 $6$은 $O$, 자리 검토
합리성 확인: 주기 $7$은 근거로 쓴 한 번의 일치 말고도 더 확인됩니다. $n = 10,11,12,13$의 값 $13, 19, 28, 41$의 패리티는 $O,O,E,O$ 로, $n = 3,4,5,6$의 $O,O,E,O$ 와 정확히 같습니다. 표를 $n = 20$까지 늘려도 덩어리 $E,E,O,O,O,E,O$ 가 어긋남 없이 반복됩니다. 문제의 세 번호는 순환의 서로 다른 세 자리에 떨어지고, 그 결과인 $(E,O,E)$는 다섯 보기 중 정확히 하나이므로 다른 보기는 성립할 수 없습니다. 타당성 확인 하나 더 — $D_{2023} = D_{2022} + D_{2020}$이 짝수이려면 두 항의 패리티가 같아야 하는데, 순환은 $D_{2022}$를 자리 $6$ ($O$), $D_{2020}$을 자리 $4$ ($O$)에 놓아 서로 맞습니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)으로 긴 표를 만들기 전에 미리 줄일 수 있습니다. 점화식에서 $D_{2023} = D_{2022} + D_{2020}$, $D_{2022} = D_{2021} + D_{2019}$ 이므로 이웃 항들 사이의 관계만으로도 가능한 삼중항이 제한됩니다. 또는 처음부터 합동식으로 $d_n \equiv d_{n-1} + d_{n-3} \pmod 2$ 라 쓰고 상태 $(d_{n}, d_{n+1}, d_{n+2})$의 가능한 $8$ 가지를 나열하는 방법도 있습니다. 상태가 유한하므로 수열은 반드시 순환해야 하고, $(0,0,1)$ 에서 출발해 상태를 따라가면 정확히 $7$ 번 만에 $(0,0,1)$로 돌아옵니다. 이 상태기계 관점은 항을 하나도 계산하기 전에 주기의 존재를 먼저 증명해 줍니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
2.OA.C.3어떤 수가 짝수인지 홀수인지 판정하기 ($E+E=E$, $E+O=O$, $O+O=E$ 라는 짝·홀 덧셈 규칙으로 점화식을 패리티만으로 굴리기.)4.OA.C.5주어진 규칙을 따르는 수 패턴 만들기 ($D_n = D_{n-1} + D_{n-3}$로 $D_0$부터 $D_{10}$까지 만들고, 표에서 해당 패리티를 읽기.)3.OA.D.9연산의 성질로 산술 패턴을 찾고 설명하기 ($n = 7,8,9$ 에서 삼중항 $(E,E,O)$이 되돌아오는 것이 패리티 수열의 주기 $7$을 강제함을 인식.)4.NBT.B.6네 자리 이하 피제수의 몫과 나머지 구하기 ($2021$, $2022$, $2023$을 $7$로 나누어 나머지 $5$, $6$, $0$을 얻기.)
⭐ 이 AMC 12 문제는 4학년 산수면 충분합니다 — 큰 수 대신 짝수·홀수만 남기고, 앞의 몇 항을 나열해 7칸마다 반복되는 것을 찾은 뒤, 2021을 7로 나눈 나머지 자리를 표에서 읽으면 끝입니다.
⭐ 이 AMC 12 문제는 4학년 산수면 충분합니다 — 큰 수 대신 짝수·홀수만 남기고, 앞의 몇 항을 나열해 7칸마다 반복되는 것을 찾은 뒤, 2021을 7로 나눈 나머지 자리를 표에서 읽으면 끝입니다.
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