AMC 10 · 2002 · #18

학년 6 geometry-3d
유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Grid / Solid Cell Position
optimizationspatial-visualization extremal-construction ↑ 선수 지식: optimization
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
일반 주사위 27개를 3 × 3 × 3으로 쌓아 큰 정육면체를 만든다. 각 주사위는 마주 보는 두 면의 눈의 합이 7이고, 놓기 전에 자유롭게 돌릴 수 있다. 큰 정육면체의 여섯 바깥면에 보이는 눈의 총합의 최솟값을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
60
(B)
72
(C)
84
(D)
90
(E)
96

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 극단의 원리

최솟값을 묻는 문제이므로 도구 #14(극단의 원리)가 전체를 이끈다. 보이는 모든 면을 가능한 가장 작은 값으로 밀어붙이는 것이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 27개의 주사위를 똑같이 행동하는 무리로 나누면 다루기 쉬워진다. 꼭짓점 주사위는 3면, 모서리 주사위는 2면, 면 중앙 주사위는 1면, 속에 묻힌 주사위는 0면을 보인다. 도구 #17(공간 상상하기)은 핵심 사실을 준다. 즉, 꼭짓점이나 모서리에서 만나는 면들은 서로 마주 보지 않으므로 작은 눈들을 한꺼번에 보일 수 있다. 각 무리를 최소화하고 그 무리의 주사위 개수를 곱한 뒤 모두 더한다.

1STEP 1

27개 주사위를 드러나는 면 수로 분류

위치별로 나누면 꼭짓점 8개는 3면, 모서리 12개는 2면, 면 중앙 6개는 1면, 속 1개는 0면을 보인다. 8+12+6+1=27.

8개 꼭짓점(3면) + 12개 모서리(2) + 6개 중앙(1) + 1개 속(0) = 27
2STEP 2

꼭짓점 주사위의 최소 합

꼭짓점의 세 면은 서로 마주 보지 않아 세 짝에서 하나씩 오므로, 작은 쪽을 골라 1+2+3=6.

min = 1+2+3 = 6
3STEP 3

모서리 주사위와 면 주사위의 최소 합

모서리를 공유하는 두 면도 마주 보지 않으니 모서리 주사위는 1+2=3, 면 중앙 주사위는 1이다.

모서리 min = 1+2 = 3, 면 min = 1
4STEP 4

큰 정육면체 전체를 더하기

곱해서 더하면 8 × 6=48, 12 × 3=36, 6 × 1=6, 속은 0이므로 총합은 90, 답은 (D)이다.

8(6)+12(3)+6(1)+1(0)=48+36+6=90 → (D)
정답
90
총합 90은 보기 범위 안에 잘 들어가고, 어림셈도 이를 뒷받침한다. 보이는 면은 8(3)+12(2)+6(1)=54개이고 쓰인 작은 눈들의 평균이 면당 2에 조금 못 미치므로 90 근처가 예상된다. 작은 면들을 일부러 썼으니 가장 큰 보기(96)보다는 작아야 하고, 꼭짓점이 어쩔 수 없이 3을 포함하니 60보다는 커야 한다. 이 둘을 모두 만족하는 것은 90뿐이므로 (D)가 확인된다.
💡핵심 정리

꼭짓점이나 모서리에서 만나는 면들은 서로 마주 보지 않으므로, 주사위는 가장 작은 눈 1, 2, 3을 한꺼번에 보일 수 있다. 각 주사위를 위치에 맞게 최소화한 뒤 모두 더하자.

  • 27개 주사위를 드러나는 면 수로 분류
  • 꼭짓점 주사위의 최소 합
  • 모서리 주사위와 면 주사위의 최소 합
  • 큰 정육면체 전체를 더하기

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