AMC 10 · 2002 · #18

학년 6 geometry-3d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Grid / Solid Cell Position

optimizationspatial-visualization extremal-construction ↑ 선수 지식: optimization

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$3 \times 3 \times 3$ 정육면체가 보통의 주사위 $27$ 개로 이루어져 있다. 각 주사위는 마주 보는 두 면의 눈의 합이 $7$ 이다. 큰 정육면체의 $6$ 개의 면에서 보이는 모든 눈의 값의 합의 최솟값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 일반 주사위 $27$개를 $3\times 3\times 3$으로 쌓아 큰 정육면체를 만든다. 각 주사위는 마주 보는 두 면의 눈의 합이 $7$이다. 큰 정육면체의 여섯 바깥면에 보이는 눈의 총합이 가장 작아지도록 각 주사위를 돌려 놓았을 때, 그 최소 합을 구하라.

주어진 것: 주사위 $27$개가 $3\times 3\times 3$ 정육면체를 이룬다; 각 주사위는 마주 보는 면의 합이 $7$이므로 짝은 $(1,6)$, $(2,5)$, $(3,4)$이다; 큰 정육면체의 바깥면만 세고, 안쪽 면은 보이지 않는다; 각 주사위는 놓기 전에 자유롭게 돌릴 수 있다; 보기: (A) $60$, (B) $72$, (C) $84$, (D) $90$, (E) $96$

구하는 것: 큰 정육면체 바깥면에 보이는 모든 눈의 최소 합

이해

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #17 공간 상상하기

최솟값을 묻는 문제이므로 도구 #14(극단의 원리)가 전체를 이끈다. 보이는 모든 면을 가능한 가장 작은 값으로 밀어붙이는 것이다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 $27$개의 주사위를 똑같이 행동하는 무리로 나누면 다루기 쉬워진다. 꼭짓점 주사위는 $3$면, 모서리 주사위는 $2$면, 면 중앙 주사위는 $1$면, 속에 묻힌 주사위는 $0$면을 보인다. 도구 #17(공간 상상하기)은 핵심 사실을 준다. 즉, 꼭짓점이나 모서리에서 만나는 면들은 서로 마주 보지 않으므로 작은 눈들을 한꺼번에 보일 수 있다. 각 무리를 최소화하고 그 무리의 주사위 개수를 곱한 뒤 모두 더한다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 5.MD.C.4 단계 1

27개 주사위를 드러나는 면 수로 분류

각 주사위의 위치를 떠올려 보자.
큰 정육면체의 꼭짓점에 있는 $8$개는 각각 $3$면이 밖으로 튀어나온다.
모서리 가운데에 있는 $12$개는 각각 $2$면을 보인다.
각 면의 중앙에 있는 $6$개는 각각 $1$면을 보인다.
정중앙에 묻힌 $1$개는 $0$면을 보인다.
개수를 확인하면 $8+12+6+1=27$로 모든 주사위가 빠짐없이 들어간다.

$$8\text{개 꼭짓점}(3\text{면}) + 12\text{개 모서리}(2) + 6\text{개 중앙}(1) + 1\text{개 속}(0) = 27$$

💡 쌓기 안에서의 위치가 주사위가 얼마나 밖으로 튀어나오는지를 정하므로, 위치별로 묶으면 드러나는 면 수별로 묶이는 셈이다.

#14 극단의 원리 6.G.A.4 단계 2

꼭짓점 주사위의 최소 합

꼭짓점 주사위는 한 꼭짓점에서 만나는 $3$면을 보인다.
한 꼭짓점에서 만나는 면들은 서로 마주 보지 않으므로, 이 세 눈은 서로 다른 세 짝에서 하나씩 온다.
$(1,6)$에서 하나, $(2,5)$에서 하나, $(3,4)$에서 하나이다.
합을 작게 하려면 각 짝에서 작은 쪽을 고른다.
즉 $1$, $2$, $3$이다.
따라서 꼭짓점 주사위가 보일 수 있는 최소는 $1+2+3=6$이다.

$$\min = 1+2+3 = 6$$

💡 마주 보는 면의 합이 $7$이므로 꼭짓점 둘레의 세 면은 서로 다른 세 짝에 놓여, $1$, $2$, $3$을 함께 보일 수 있다.

#14 극단의 원리 6.G.A.4 단계 3

모서리 주사위와 면 주사위의 최소 합

모서리 주사위는 한 모서리를 공유하는 $2$면을 보인다.
이 면들도 서로 마주 보지 않으므로 서로 다른 두 짝에서 온다.
가장 작은 선택은 $1$과 $2$이고 합은 $1+2=3$이다.
면 중앙 주사위는 단 $1$면만 보이고, 어느 면에서든 가장 작은 눈은 $1$이다.
따라서 모서리 주사위는 $3$까지, 면 중앙 주사위는 $1$까지 내려간다.

$$\text{모서리 } \min = 1+2 = 3,\qquad \text{면 } \min = 1$$

💡 이웃한 면은 서로 마주 보지 않으므로 그 작은 눈들을 동시에 바깥으로 향하게 할 수 있고, 면 하나뿐이면 그냥 $1$을 쓴다.

#14 극단의 원리 4.OA.A.3 단계 4

큰 정육면체 전체를 더하기

각 무리의 최소값에 그 무리의 주사위 개수를 곱해 더한다.
꼭짓점: $8\times 6=48$.
모서리: $12\times 3=36$.
면 중앙: $6\times 1=6$.
묻힌 주사위: $1\times 0=0$.
총합 $=48+36+6+0=90$.
각 주사위를 따로 최소화했고 주사위끼리 서로 제한하지 않으므로, 이것이 진짜 최소 합이다.
따라서 답은 (D)이다.

$$8(6)+12(3)+6(1)+1(0)=48+36+6=90\;\Rightarrow\;\textbf{(D)}$$

💡 한 주사위의 방향이 다른 주사위를 절대 제한하지 않으므로, 모든 주사위를 따로 최소화해 더하면 참된 최솟값이 된다.

[1] #7 5.MD.C.4 각 주사위의 위치를 떠올려 보자. 큰 정육면체의 꼭짓점에 있는 $8$개는 각각 $3$면이 밖으로 튀어나온다. 모서리 가운데에 있는 $12$개는

[2] #14 6.G.A.4 꼭짓점 주사위는 한 꼭짓점에서 만나는 $3$면을 보인다. 한 꼭짓점에서 만나는 면들은 서로 마주 보지 않으므로, 이 세 눈은 서로 다른 세 짝에

[3] #14 6.G.A.4 모서리 주사위는 한 모서리를 공유하는 $2$면을 보인다. 이 면들도 서로 마주 보지 않으므로 서로 다른 두 짝에서 온다. 가장 작은 선택은 $1

[4] #14 4.OA.A.3 각 무리의 최소값에 그 무리의 주사위 개수를 곱해 더한다. 꼭짓점: $8\times 6=48$. 모서리: $12\times 3=36$. 면 중앙

검토

합리성 확인: 총합 $90$은 보기 범위 안에 잘 들어가고, 어림셈도 이를 뒷받침한다. 보이는 면은 $8(3)+12(2)+6(1)=54$개이고 쓰인 작은 눈들의 평균이 면당 $2$에 조금 못 미치므로 $90$ 근처가 예상된다. 작은 면들을 일부러 썼으니 가장 큰 보기($96$)보다는 작아야 하고, 꼭짓점이 어쩔 수 없이 $3$을 포함하니 $60$보다는 커야 한다. 이 둘을 모두 만족하는 것은 $90$뿐이므로 (D)가 확인된다.

대안 접근: 주사위 하나씩이 아니라 층별로 표면을 더할 수도 있다. 위아래 $3\times 3$ 층과 네 옆벽이 각각 가장 작은 눈을 원하고, 모든 주사위를 드러난 면이 최소가 되도록 돌리면 꼭짓점·모서리·면의 기여가 각각 $6$, $3$, $1$로 똑같이 나와 다시 $90$이 된다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.MD.C.4 Measure volumes by counting unit cubes ($27$개의 단위 주사위를 위치별로 분류하고($8$ 꼭짓점, $12$ 모서리, $6$ 면 중앙, $1$ 속) 개수 합이 $27$인지 확인한다.)
6.G.A.4 Represent three-dimensional figures using nets and find surface area (주사위의 어느 면이 드러나는지 따지고, 꼭짓점이나 모서리에서 만나는 면들은 서로 마주 보지 않으므로 작은 눈 $1,2,3$을 함께 보일 수 있음을 이용한다.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (각 무리의 최소값에 개수를 곱해 더한다: $8(6)+12(3)+6(1)=90$.)

⭐ 꼭짓점이나 모서리에서 만나는 면들은 서로 마주 보지 않으므로, 주사위는 가장 작은 눈 $1$, $2$, $3$을 한꺼번에 보일 수 있다. 각 주사위를 위치에 맞게 최소화한 뒤 모두 더하자.