AMC 8 · 1999 · #20

학년 6 geometry-3d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Grid / Solid Cell Position

spatial-visualizationsystematic-enumeration physical-representationcasework ↑ 선수 지식: spatial-visualization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

"스택 맵"은 위에서 내려다본 격자에서 각 칸의 수가 그 자리에 쌓인 단위 정육면체 개수를 알려주는 그림입니다. 그림 4의 스택 맵은 두 행(뒤·앞)과 세 열(왼·가운데·오른)로 되어 있어요. 뒷줄은 2, 2, 4, 앞줄은 1, 3, 1 입니다. (A)~(E) 다섯 그림 중에서 이 3D 구조의 정면도는 어느 것일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Front view with column heights 2, 3, 4 plus extra blocks (heights 4 left-stack, 2 middle, 3 right) — irregular L

(B)

Front view with column heights 2, 3, 4 (left to right) — staircase rising to the right

(C)

Front view with column heights 4, 3 only (two columns)

(D)

Front view with column heights 2, 2, 4 (left to right)

(E)

Front view with column heights 1, 4, 4 (left to right)

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 공간 상상하기

문제는 위에서 본 2D 지도를 주고 정면에서 본 3D 구조를 묻습니다 — 도구 #17(공간 상상하기)의 전형적인 신호입니다. 핵심 관찰은 한 열의 정면도 높이가 그 열에서 더 높은 스택과 같다는 점이에요. 더 높은 쪽이 더 낮은 쪽을 가리기 때문이죠. 도구 #10(직접 만져보기)은 안전망입니다. 머릿속 투영이 헷갈리면 실제 블록으로 쌓아 보고 정면에서 바라봐도 되고, 종이에 열별 실루엣을 그어 봐도 됩니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 객관식 검산입니다. 세 열의 높이가 정해지면 다섯 그림 중 정확히 그 순서의 높이를 가진 것은 하나뿐입니다.

1STEP 1

정면에서 보면 같은 열의 두 스택이 하나의 실루엣으로 겹치고, 그 높이는 둘 중 더 큰 값입니다.

열 x 의 정면 높이 = max_y( (x,y) 에 쌓인 높이 )

2STEP 2

뒷줄과 앞줄을 열별로 위아래 짝지어, 각 열의 두 높이를 나란히 둡니다.

열별 높이 → & 왼 & 가운데 & 오른 ; 뒤 & 2 & 2 & 4 ; 앞 & 1 & 3 & 1

3STEP 3

각 열의 최댓값을 고릅니다 — 높은 쪽이 낮은 쪽을 가리니, 정면 높이는 2, 3, 4.

max(2, 1)=2, max(2, 3)=3, max(4, 1)=4

4STEP 4

정면 높이 2, 3, 4 를 다섯 그림과 맞춰 보면, 왼→오 계단은 (B) 뿐이고 나머지는 적어도 한 열이 안 맞습니다.

(2, 3, 4) → (A),(C),(D),(E) 모두 어긋남; (B) 일치 → (B)

정답

Front view with column heights 2, 3, 4 (left to right) — staircase rising to the right

각 정육면체가 정면에서 어떻게 보이는지 따라가며 검산합니다. 오른쪽 열은 뒤에 4 칸, 앞에 1 칸이 쌓여 있으므로 정면 실루엣은 4 칸 높이까지 올라가야 합니다 — 이 조건으로 오른쪽이 4 인 (A), (B), (D), (E) 만 남습니다. 가운데 열의 가장 높은 스택은 앞줄의 3 이므로 가운데 실루엣은 3 칸 — (D)(가운데 2)와 (E)(가운데 4) 제거. 왼쪽 열의 가장 높은 스택은 2 이므로 왼쪽 실루엣은 2 칸 — (A)(왼쪽 4) 제거. 남는 것은 (B), 높이 2, 3, 4. 또 한 가지: 정면에 보이는 정사각형의 총 개수는 2+3+4 = 9 칸이고 (B) 가 정확히 9 칸이라서 내부적으로도 들어맞습니다.

💡핵심 정리

정면에서는 한 열의 가장 높은 스택이 더 낮은 쪽을 가립니다 — 각 열의 최댓값을 골라 실루엣 2, 3, 4 를 만들면 답은 (B).

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