AMC 10 · 2002 · #8

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglesarea-rectangles identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

벳시는 그림과 같이 파란 삼각형들, 작은 흰 정사각형들, 그리고 가운데의 빨간 정사각형을 이용해 깃발을 디자인했다. 파란 삼각형들의 넓이의 합을 $B$ , 흰 정사각형들의 넓이의 합을 $W$ , 빨간 정사각형의 넓이를 $P$ 라 하자. 다음 중 옳은 것은?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

B = W

(B)

W = P

(C)

B = P

(D)

3B = 2P

(E)

2P = W

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 깃발은 $8\times 8$ 크기의 파란 바탕, 한가운데의 빨간 정사각형, 그리고 $45^\circ$ 기울어진 작은 하얀 정사각형들의 테두리로 이루어져 있다. $B$, $W$, $P$를 각각 파란색 전체 넓이, 하얀색 전체 넓이, 빨간색 넓이라 하자. $B$, $W$, $P$ 사이의 관계식 다섯 개 중 어느 것이 참인지 판별하라.

주어진 것: 깃발 전체는 $(-4,-4)$부터 $(4,4)$까지의 정사각형이므로 한 변이 $8$이다.; 빨간 정사각형은 $(-2,-2)$부터 $(2,2)$까지이므로 한 변이 $4$이다.; 하얀 도형들은 $45^\circ$ 기울어진 작은 정사각형(마름모 모양)이며, 깃발의 각 변마다 세 개씩 놓이고 $90^\circ$ 회전으로 무늬가 반복된다.; 빨간색도 하얀색도 아닌 부분은 모두 파란색이다.; 보기: (A) $B=W$, (B) $W=P$, (C) $B=P$, (D) $3B=2P$, (E) $2P=W$.

구하는 것: $B$, $W$, $P$를 올바르게 이어주는 관계식이 보기 중 어느 것인지.

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #16 관점 바꾸기

$B$, $W$, $P$를 비교하는 일은 넓이 계산 세 개로 나뉘므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 뼈대가 된다: 빨간 넓이, 하얀 넓이, 파란 넓이를 차례로 구해 비교한다. 도구 #1(그림 그리기)은 각 조각을 셀 수 있게 만드는 핵심 장치다 — 깃발 위에 단위 격자를 덮으면 깃발이 $64$개의 작은 정사각형이 되고, 기울어진 하얀 정사각형 하나는 $2\times 2$ 상자의 정확히 절반이 된다. 그다음 도구 #16(관점 바꾸기)으로 파란색은 공짜로 얻는다: 파란 삼각형을 모두 더하는 대신, 깃발 전체에서 빨간색과 하얀색을 빼면 된다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 3.MD.C.7 단계 1

깃발 전체에 격자 씌우기

깃발 위에 단위 격자를 덮자.
깃발은 한 변이 $8$이므로 $8\times 8 = 64$개의 단위 정사각형으로 이루어진다.
이 넓이 $64$가 세 색이 나눠 가질 총량이다.

$$\text{깃발 넓이}=8\times 8=64$$

💡 정사각형을 단위 타일로 덮으면 '넓이'가 '작은 정사각형이 몇 개인가'로 바뀌어 그냥 세면 된다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.7 단계 2

빨간 넓이 P

빨간 정사각형은 가로세로 모두 $-2$부터 $2$까지이므로 한 변이 $4$이다.
넓이는 $4\times 4 = 16$개의 단위 정사각형이다.
따라서 $P = 16$.

$$P=4\times 4=16$$

💡 정사각형의 넓이는 한 변을 자기 자신에 곱한 것이므로 변이 $4$인 정사각형은 타일 $16$개를 담는다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 3

하얀 넓이 W

하얀 도형 하나는 $45^\circ$ 기울어진 정사각형이다.
$2\times 2$ 상자 안에 들어가면서 각 변의 한가운데에 닿으므로 그 상자의 정확히 절반을 덮는다: 넓이는 $\tfrac12\times(2\times 2)=2$.
위쪽 변에 세 개가 놓이고, $90^\circ$ 회전대칭이 그 셋을 나머지 세 변에도 복사하므로 하얀 마름모는 $3\times 4 = 12$개다.
따라서 $W = 12\times 2 = 24$.

$$W=(3\times 4)\times 2=12\times 2=24$$

💡 상자 각 변의 한가운데를 이은 마름모는 언제나 상자의 절반이므로 하얀 정사각형 하나는 타일 $2$개 값이다.

#16 관점 바꾸기 3.MD.C.7 단계 4

파란 넓이 B, 그리고 비교

파란 삼각형을 하나씩 쫓는 대신, 깃발 전체에서 파랗지 않은 부분을 빼자: $B = 64 - P - W = 64 - 16 - 24 = 24$.
이제 비교하면 $B = 24$, $W = 24$이므로 $B = W$이다.
다른 보기를 확인하면 $P=16$은 여기서 어느 것과도 맞지 않으므로, 참인 문장은 $B=W$뿐이고 이는 보기 (A)이다.

$$B=64-16-24=24=W\;\Rightarrow\;\textbf{(A)}$$

💡 세 색이 깃발을 정확히 덮으므로 파란색은 전체에서 이미 잰 부분들을 뺀 것일 뿐이다.

[1] #1 3.MD.C.7 깃발 위에 단위 격자를 덮자. 깃발은 한 변이 $8$이므로 $8\times 8 = 64$개의 단위 정사각형으로 이루어진다. 이 넓이 $64$가

[2] #7 3.MD.C.7 빨간 정사각형은 가로세로 모두 $-2$부터 $2$까지이므로 한 변이 $4$이다. 넓이는 $4\times 4 = 16$개의 단위 정사각형이다. 따

[3] #7 6.G.A.1 하얀 도형 하나는 $45^\circ$ 기울어진 정사각형이다. $2\times 2$ 상자 안에 들어가면서 각 변의 한가운데에 닿으므로 그 상자의

[4] #16 3.MD.C.7 파란 삼각형을 하나씩 쫓는 대신, 깃발 전체에서 파랗지 않은 부분을 빼자: $B = 64 - P - W = 64 - 16 - 24 = 24$.

검토

합리성 확인: 세 넓이를 합치면 깃발 전체가 되어야 하는데 실제로 그렇다: $P+W+B = 16+24+24 = 64$, 곧 깃발의 넓이다. 다른 보기는 모두 틀린다 — $W=P$는 $24=16$, $B=P$는 $24=16$, $3B=2P$는 $72=32$, $2P=W$는 $32=24$을 요구한다 — 따라서 $B=W$만 살아남고, 이는 (A)와 일치한다.

대안 접근: 모든 것을 '마름모' 단위로 재보자. 하얀 정사각형 하나를 $1$단위로 세면 하얀 마름모가 $12$개이므로 $W=12$단위다. 파란색도 마름모 크기 조각 $12$개로 나뉜다: 빨간 정사각형에 붙은 파란 삼각형 여덟 개가 둘씩 짝지어 마름모 $4$개가 되고, 모서리에 $4$개, 변을 따라 $4$개가 더해져 파란 단위도 $12$개다. 따라서 $64$를 계산하지 않고도 곧바로 $B=W$이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

3.MD.C.7 넓이를 곱셈과 덧셈 연산과 연결하기 (깃발과 빨간 정사각형을 단위 정사각형으로 덮어 넓이 $64$와 $16$을 구하고, 넓이의 덧셈성을 이용해 파란색을 전체에서 빨간색과 하얀색을 뺀 것으로 구함.)
6.G.A.1 다각형을 직사각형으로 합치거나 삼각형으로 나누어 넓이 구하기 (기울어진 하얀 정사각형 하나를 그 $2\times 2$ 외접 상자의 정확히 절반으로 보아 넓이 $2$를 얻음.)

⭐ 색칠된 그림 위에 격자를 씌워 각 색의 정사각형을 세고, 마지막 색은 전체에서 빼서 공짜로 구하라.