AMC 10 · 2002 · #8

학년 6 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation
area-trianglesarea-rectangles identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectangles
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
깃발은 8 × 8 크기의 파란 바탕, 한가운데의 빨간 정사각형, 그리고 45° 기울어진 작은 하얀 정사각형들의 테두리로 이루어져 있다. B, W, P를 각각 파란색 전체 넓이, 하얀색 전체 넓이, 빨간색 넓이라 하자. B, W, P 사이의 관계식 다섯 개 중 어느 것이 참인지 판별하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
B = W
(B)
W = P
(C)
B = P
(D)
3B = 2P
(E)
2P = W

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

B, W, P를 비교하는 일은 넓이 계산 세 개로 나뉘므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 뼈대가 된다: 빨간 넓이, 하얀 넓이, 파란 넓이를 차례로 구해 비교한다. 도구 #1(그림 그리기)은 각 조각을 셀 수 있게 만드는 핵심 장치다 — 깃발 위에 단위 격자를 덮으면 깃발이 64개의 작은 정사각형이 되고, 기울어진 하얀 정사각형 하나는 2 × 2 상자의 정확히 절반이 된다. 그다음 도구 #16(관점 바꾸기)으로 파란색은 공짜로 얻는다: 파란 삼각형을 모두 더하는 대신, 깃발 전체에서 빨간색과 하얀색을 빼면 된다.

1STEP 1

깃발 전체에 격자 씌우기

깃발에 단위 격자를 씌우면 8 × 8 = 64개, 세 색이 나눠 가질 총량이다.

깃발 넓이=8 × 8=64
2STEP 2

빨간 넓이 P

빨간 정사각형은 가로세로 -2부터 2까지라 한 변이 4, 넓이는 4 × 4 = 16이다.

P=4 × 4=16
3STEP 3

하얀 넓이 W

기울어진 하얀 정사각형은 2 × 2 상자의 절반이라 넓이 2, 각 변에 3개씩 4변이면 12개이므로 W = 24이다.

W=(3 × 4) × 2=12 × 2=24
4STEP 4

파란 넓이 B, 그리고 비교

파란색은 나머지다: B = 64 - 16 - 24 = 24로 W와 같으므로 참인 보기는 (A)뿐이다.

B=64-16-24=24=W → (A)
정답
B = W
세 넓이를 합치면 깃발 전체가 되어야 하는데 실제로 그렇다: P+W+B = 16+24+24 = 64, 곧 깃발의 넓이다. 다른 보기는 모두 틀린다 — W=P는 24=16, B=P는 24=16, 3B=2P는 72=32, 2P=W는 32=24을 요구한다 — 따라서 B=W만 살아남고, 이는 (A)와 일치한다.
💡핵심 정리

색칠된 그림 위에 격자를 씌워 각 색의 정사각형을 세고, 마지막 색은 전체에서 빼서 공짜로 구하라.

  • 깃발 전체에 격자 씌우기
  • 빨간 넓이 P
  • 하얀 넓이 W
  • 파란 넓이 B, 그리고 비교

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