AMC 10 · 2009 · #4

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglesarea-rectanglesfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

직사각형 마당 안에 합동인 직각이등변삼각형 모양의 화단 두 개가 위쪽 두 모서리에 놓여 있다. 남은 가운데 부분은 사다리꼴이고, 평행한 두 변의 길이는 15 미터(짧은 위쪽 변)와 25 미터(긴 아래쪽 변)이다. 화단 두 개가 마당 전체의 몇 분의 몇을 차지하는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac {1}{8}$

(B)

$\frac {1}{6}$

(C)

$\frac {1}{5}$

(D)

$\frac {1}{4}$

(E)

$\frac {1}{3}$

AMC 10 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

그림이 여러 도형이 합쳐진 모양이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 일을 세 조각으로 나눈다. 먼저 두 평행 변으로 삼각형의 다리 길이를 구하고, 다음으로 화단 전체 넓이를 구하고, 마지막으로 마당 전체 넓이를 구해서 나눈다. 도구 #17(공간 상상하기)은 핵심 지름길을 준다. 합동인 두 직각삼각형을 붙이면 하나의 정사각형이 되어 넓이가 쉽게 나온다. 도구 #1(그림 그리기)로 다리 길이를 그림에서 바로 읽고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 마지막 분수를 선택지와 맞춰 본다.

1STEP 1

각 삼각형의 다리 구하기

위쪽은 화단 사이가 15, 아래는 25 전체이므로 두 다리가 10을 나눠 갖는다. 다리는 각각 5이고, 이것이 마당의 높이다.

위쪽 다리 = (25-15)/2 = 5, 따라서 두 다리 모두 = 5, 직사각형 높이 = 5

2STEP 2

두 삼각형을 정사각형으로 합치기

합동인 두 삼각형을 붙이면 5×5 정사각형이 되므로, 화단 넓이는 모두 25 제곱미터이다.

화단 전체 넓이 = 5 × 5 = 25 m²

3STEP 3

마당 전체 넓이 구하기

마당은 가로 25, 세로 5(1단계의 다리)인 직사각형이므로 넓이는 125 제곱미터이다.

마당 넓이 = 25 × 5 = 125 m²

4STEP 4

나누고 약분하기

화단은 마당의 25/125이고, 분자와 분모를 25로 나누면 1/5, 곧 보기 (C)이다.

25/125 = 25/125 = 1/5 → (C)

정답

1/5

두 삼각형은 25 × 5=125인 마당에서 5 × 5=25짜리 조각만 채우므로 화단은 작은 부분이어야 하는데, 1/5 = 0.2는 작아서 넓은 사다리꼴에 비해 모서리가 얇은 그림과 잘 맞는다. 검산도 통과한다. 사다리꼴 넓이는 1/2(15+25) · 5 = 100이고 100+25 = 125가 마당 전체와 같으므로 조각들이 정확히 맞아떨어진다.

💡핵심 정리

합동인 두 직각삼각형은 붙이면 정사각형이 되니, 그 정사각형의 넓이를 구해 직사각형 전체와 비교하고 분수를 약분하면 된다.

각 삼각형의 다리 구하기
두 삼각형을 정사각형으로 합치기
마당 전체 넓이 구하기
나누고 약분하기

각 삼각형의 다리 구하기

두 삼각형을 정사각형으로 합치기

마당 전체 넓이 구하기

나누고 약분하기

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