AMC 10 · 2002 · #11

학년 8 arithmetic

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📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

연속한 세 양의 정수의 곱이 그 세 수의 합의 $8$ 배와 같다. 이 세 수의 제곱의 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 50$

(B)

$\ 77$

(C)

$\ 110$

(D)

$\ 149$

(E)

$\ 194$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $4,5,6$ 처럼 바로 이웃한 세 자연수가 있다. 세 수를 모두 곱한 값이 세 수를 더한 값의 $8$ 배와 같다. 이 세 수의 제곱의 합을 구하라.

주어진 것: 세 수는 연속한 양의 정수이다 (각각 앞의 수보다 $1$ 큼); 세 수의 곱이 세 수의 합의 $8$ 배와 같다; 선택지: (A) $50$, (B) $77$, (C) $110$, (D) $149$, (E) $194$

구하는 것: 세 정수 자체; 그 제곱들의 합

이해

문제 재정리: $4,5,6$ 처럼 바로 이웃한 세 자연수가 있다. 세 수를 모두 곱한 값이 세 수를 더한 값의 $8$ 배와 같다. 이 세 수의 제곱의 합을 구하라.

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

가운데 정수를 $n$ 으로 이름 붙이는 것(도구 #4)이 영리한 수다. 연속한 세 수가 $n-1$, $n$, $n+1$ 이 되어 대칭이 생기고, 그 덕분에 곱과 합이 모두 깔끔한 식으로 접힌다. 이어서 도구 #13(대수로 바꾸기)이 '곱은 합의 $8$ 배' 라는 문장을 $n$ 에 관한 방정식 하나로 옮긴다. 그 방정식은 $n^2=25$ 로 줄어들고, 도구 #3(가능성 지우기)이 '양의' 라는 말을 써서 $n=5$ 를 남기고 $n=-5$ 를 버린다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

가운데 수에 이름 붙이기

가운데 정수를 $n$ 이라 하자.
연속한 수이므로 아래 수는 $n-1$, 위 수는 $n+1$ 이다.
가운데 수를 기준으로 이름을 붙이는 것이 대수를 대칭적이고 짧게 만드는 열쇠다.

$$n-1,\quad n,\quad n+1$$

💡 일정한 간격의 수들은 가운데 수를 이름 붙이면 바깥 두 수가 그 주위로 균형을 이룬다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.2 단계 2

곱과 합 쓰기

합은 $(n-1)+n+(n+1)=3n$ 이다 — $-1$ 과 $+1$ 이 상쇄된다.
곱은 $(n-1)\,n\,(n+1)$ 인데, 바깥 두 수를 먼저 곱하면 $(n-1)(n+1)=n^2-1$ 이므로 곱은 $n(n^2-1)=n^3-n$ 이 된다.

$$\text{합}=3n,\qquad \text{곱}=(n-1)n(n+1)=n^3-n$$

💡 대칭인 $n-1$ 과 $n+1$ 덕분에 합은 양끝이 상쇄되고 곱은 제곱의 차로 접힌다.

#3 가능성 지우기 8.EE.A.2 단계 3

가운데 수 구하기

'곱은 합의 $8$ 배' 라는 조건은 $n^3-n = 8\cdot 3n = 24n$ 이 된다.
$24n$ 을 넘기면 $n^3-n-24n=0$, 즉 $n^3-25n=0$ 이고, 이는 $n(n^2-25)=0$ 으로 인수분해된다.
$n$ 은 양의 정수라 $0$ 이 아니므로 $n^2=25$, 따라서 $n=5$ 다 ($n=-5$ 는 정수가 양수이므로 버린다).

$$n^3-n=24n\Rightarrow n^3=25n\Rightarrow n^2=25\Rightarrow n=5$$

💡 공통 인수 $n$ 을 나누면 삼차식이 $n^2=25$ 로 접히고, '양수' 라는 조건이 하나뿐인 해를 골라 준다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.1 단계 4

제곱들을 더하기

$n=5$ 이면 세 정수는 $4,5,6$ 이다.
각 제곱은 $4^2=16$, $5^2=25$, $6^2=36$ 이다.
더하면 $16+25+36=77$ 이고, 이는 선택지 (B) 다.

$$4^2+5^2+6^2=16+25+36=77\ \textbf{(B)}$$

💡 수가 정해지고 나면 답은 세 제곱을 더하는 것뿐이다.

[1] #4 6.EE.B.6 가운데 정수를 $n$ 이라 하자. 연속한 수이므로 아래 수는 $n-1$, 위 수는 $n+1$ 이다. 가운데 수를 기준으로 이름을 붙이는 것이 대

[2] #13 6.EE.A.2 합은 $(n-1)+n+(n+1)=3n$ 이다 — $-1$ 과 $+1$ 이 상쇄된다. 곱은 $(n-1)\,n\,(n+1)$ 인데, 바깥 두 수를

[3] #3 8.EE.A.2 '곱은 합의 $8$ 배' 라는 조건은 $n^3-n = 8\cdot 3n = 24n$ 이 된다. $24n$ 을 넘기면 $n^3-n-24n=0$,

[4] #13 6.EE.A.1 $n=5$ 이면 세 정수는 $4,5,6$ 이다. 각 제곱은 $4^2=16$, $5^2=25$, $6^2=36$ 이다. 더하면 $16+25+36=

검토

합리성 확인: $4,5,6$ 을 원래 문장에 맞춰 확인하자: 곱은 $4\cdot5\cdot6=120$, 합은 $4+5+6=15$ 이고, 실제로 $120=8\cdot15$ 이므로 조건이 정확히 성립한다. 제곱의 합 $16+25+36=77$ 은 선택지 (B) 에 놓이며, 더 작은 보기들과 더 큰 보기들 사이에 무리 없이 자리한다.

대안 접근: 대수 대신 추측하고 확인할 수도 있다: 답 크기에 가까운 연속한 세 수를 시험한다. $4,5,6$ 을 넣으면 곱 $120$, 합 $15$, 그리고 $120\div15=8$ — 합리적인 첫 시도에서 바로 맞아 제곱의 합 $77$ 이 나온다. 대수는 이것이 요행이 아니라 유일한 양의 해임을 보장해 줄 뿐이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.6 변수를 사용해 수를 나타내고 문제를 풀 식을 쓴다 (가운데 정수를 $n$ 으로 이름 붙여 연속한 세 수를 $n-1$, $n$, $n+1$ 로 만듦.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 계산한다 (대칭인 이름을 이용해 합을 $3n$ 으로, 곱을 $n^3-n$ 으로 바꿈.)
8.EE.A.2 제곱근과 세제곱근 기호로 해를 나타낸다 ($n^3=25n$ 을 $n^2=25$ 로 줄이고 제곱근을 취해 $n=5$ 를 얻음.)
6.EE.A.1 자연수 지수가 포함된 수식을 쓰고 계산한다 ($4,5,6$ 을 제곱하고 $16+25+36=77$ 을 더함.)

⭐ 연속한 세 수는 가운데를 $n$ 이라 하면 합은 $3n$, 곱은 $n^3-n$ 이 되고, 방정식이 $n^2=25$ 로 줄어든다.