AMC 10 · 2002 · #11

학년 8 arithmetic

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📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

바로 이웃한 양의 정수가 세 개 있다. 세 수를 모두 곱한 값이 세 수를 더한 값의 8배와 정확히 같다. 이 세 수의 제곱의 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\ 50$

(B)

$\ 77$

(C)

$\ 110$

(D)

$\ 149$

(E)

$\ 194$

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

가운데 정수를 n 으로 이름 붙이는 것(도구 #4)이 영리한 수다. 연속한 세 수가 n-1, n, n+1이 되어 대칭이 생기고, 그 덕분에 곱과 합이 모두 깔끔한 식으로 접힌다. 이어서 도구 #13(대수로 바꾸기)이 '곱은 합의 8 배' 라는 문장을 n 에 관한 방정식 하나로 옮긴다. 그 방정식은 n²=25로 줄어들고, 도구 #3(가능성 지우기)이 '양의' 라는 말을 써서 n=5를 남기고 n=-5를 버린다.

1STEP 1

가운데 수에 이름 붙이기

가운데 정수를 n이라 하자. 연속한 수이므로 나머지 둘은 n-1과 n+1이다.

n-1, n, n+1

2STEP 2

곱과 합 쓰기

양끝이 상쇄되어 합은 3n, 바깥 두 수가 접혀 곱은 n(n²-1)=n³-n이다.

합=3n, 곱=(n-1)n(n+1)=n³-n

3STEP 3

가운데 수 구하기

조건은 n³-n=24n이 되어 n(n²-25)=0, n이 양수이므로 n²=25이고 n=5이다.

n³-n=24n→ n³=25n→ n²=25→ n=5

4STEP 4

제곱들을 더하기

그러면 세 정수는 4,5,6이고 4²+5²+6²=16+25+36=77, 선택지 (B)다.

4²+5²+6²=16+25+36=77 (B)

정답

4,5,6을 원래 문장에 맞춰 확인하자: 곱은 4·5·6=120, 합은 4+5+6=15이고, 실제로 120=8·15 이므로 조건이 정확히 성립한다. 제곱의 합 16+25+36=77은 선택지 (B)에 놓이며, 더 작은 보기들과 더 큰 보기들 사이에 무리 없이 자리한다.

💡핵심 정리

연속한 세 수는 가운데를 n 이라 하면 합은 3n, 곱은 n³-n 이 되고, 방정식이 n²=25로 줄어든다.

가운데 수에 이름 붙이기
곱과 합 쓰기
가운데 수 구하기
제곱들을 더하기

가운데 수에 이름 붙이기

곱과 합 쓰기

가운데 수 구하기

제곱들을 더하기

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