AMC 10 · 2002 · #12

학년 8 algebra
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linear-equations-one-varfraction-arithmetic convert-to-algebra ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
방정식 (x-1)/(x-2)=(x-k)/(x-6) 안에는 수 k가 들어 있다. k의 값 대부분에서는 x를 풀 수 있지만, 주어진 값 중 정확히 하나에서는 어떤 x로도 방정식을 만족시킬 수 없다. 그 k의 값을 찾아라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
1
(B)
2
(C)
3
(D)
4
(E)
5

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 대수로 바꾸기

'해가 없다'라는 말은 대수 방정식에 관한 진술이므로, 도구 #13(대수로 바꾸기)이 핵심이다. 교차 곱셈으로 분수를 없애고 x만 남을 때까지 정리한다. 그러면 (계수) · x= (상수) 꼴의 일차방정식 하나가 남는데, 계수와 상수 모두 k에 따라 달라진다. 일차방정식은 x의 계수가 0으로 무너지는데 반대쪽이 0이 아닐 때에만 해를 갖지 못한다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 나머지 네 개의 k 값이 실제로 쓸 수 있는 x를 주는지 확인하면, 선택지 하나만 살아남는다.

1STEP 1

교차 곱셈으로 분수 없애기

x ≠ 2이고 x ≠ 6이므로 교차 곱셈이 정당하고, 분수는 (x-1)(x-6)=(x-k)(x-2)로 바뀐다.

(x-1)(x-6)=(x-k)(x-2)
2STEP 2

양변 전개하기

양변을 곱해서 펼치면 x²-7x+6=x²-(k+2)x+2k. 양쪽 다 x²으로 시작하니 그 항은 곧 사라진다.

x²-7x+6=x²-(k+2)x+2k
3STEP 3

제곱항 지우고 x 모으기

x²을 지우고 x항은 왼쪽, 상수는 오른쪽으로 몰면 전부 (k-5)x=2k-6으로 줄어든다.

-7x+6=-(k+2)x+2k → (k-5)x=2k-6
4STEP 4

어떤 x도 안 되는 경우 찾기

k-5로 나누려면 k-5 ≠ 0이어야 한다. k=5이면 0 · x=4가 되어 모든 x에서 거짓이니 해가 없다.

k=5: 0 · x=4 → 해 없음
5STEP 5

나머지 네 선택지는 해가 있음을 확인

k=1,2,3,4이면 x=(2k-6)/(k-5)이 1, 2/3, 0, -2로 모두 정당하니 k=5만 깨진다. 답은 (E)이다.

k=1{:} x=1, k=2{:} x=2/3, k=3{:} x=0, k=4{:} x=-2 → (E) k=5
정답
5
k=5를 원래 방정식에 넣으면 (x-1)/(x-2)=(x-5)/(x-6)이다. 교차 곱셈하면 (x-1)(x-6)=(x-5)(x-2), 즉 x²-7x+6=x²-7x+10이 되어 6=10으로 간단해진다. 이는 어떤 x로도 성립하지 않는 모순이라 주장과 정확히 일치한다. 그리고 다른 네 선택지는 각각 2와 6을 피하는 깔끔한 x 값을 내놓았으므로, 다섯 선택지 중 k=5만 해가 없다.
💡핵심 정리

분수를 없애고 정리하라. x항은 사라지는데 0이 아닌 수가 남을 때 방정식은 해가 없고, 그 일은 k=5에서 일어난다.

  • 교차 곱셈으로 분수 없애기
  • 양변 전개하기
  • 제곱항 지우고 x 모으기
  • 어떤 x도 안 되는 경우 찾기
  • 나머지 네 선택지는 해가 있음을 확인

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