AMC 10 · 2002 · #12
학년 8 algebra다음 중 어떤 k 의 값에 대해 방정식 x−2x−1=x−6x−k 이 x 에 대한 해를 갖지 않는가?
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AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 방정식 $\frac{x-1}{x-2}=\frac{x-k}{x-6}$ 안에는 수 $k$가 들어 있다. $k$의 값 대부분에서는 $x$를 풀 수 있지만, 주어진 값 중 정확히 하나에서는 어떤 $x$로도 방정식을 만족시킬 수 없다. 그 $k$의 값을 찾아라.
주어진 것: 방정식은 $\frac{x-1}{x-2}=\frac{x-k}{x-6}$ 이다; $x=2$와 $x=6$은 분모를 $0$으로 만들므로 쓸 수 없다; $k$의 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$
구하는 것: 어떤 $x$로도 방정식이 참이 되지 않게 하는 $k$의 값
이해
문제 재정리: 방정식 $\frac{x-1}{x-2}=\frac{x-k}{x-6}$ 안에는 수 $k$가 들어 있다. $k$의 값 대부분에서는 $x$를 풀 수 있지만, 주어진 값 중 정확히 하나에서는 어떤 $x$로도 방정식을 만족시킬 수 없다. 그 $k$의 값을 찾아라.
주어진 것: 방정식은 $\frac{x-1}{x-2}=\frac{x-k}{x-6}$ 이다; $x=2$와 $x=6$은 분모를 $0$으로 만들므로 쓸 수 없다; $k$의 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$
계획
주요 도구: #13 대수로 바꾸기
보조 도구: #3 가능성 지우기
'해가 없다'라는 말은 대수 방정식에 관한 진술이므로, 도구 #13(대수로 바꾸기)이 핵심이다. 교차 곱셈으로 분수를 없애고 $x$만 남을 때까지 정리한다. 그러면 (계수)$\cdot x=$ (상수) 꼴의 일차방정식 하나가 남는데, 계수와 상수 모두 $k$에 따라 달라진다. 일차방정식은 $x$의 계수가 $0$으로 무너지는데 반대쪽이 $0$이 아닐 때에만 해를 갖지 못한다. 그다음 도구 #3(가능성 지우기)으로 나머지 네 개의 $k$ 값이 실제로 쓸 수 있는 $x$를 주는지 확인하면, 선택지 하나만 살아남는다.
실행 — 정답: E
6.EE.B.6 단계 1 교차 곱셈으로 분수 없애기
- $x\neq2$이고 $x\neq6$이면 서로 같은 두 분수는 교차 곱셈을 할 수 있다.
- 양변에 $(x-2)(x-6)$을 곱하면 $\frac{x-1}{x-2}=\frac{x-k}{x-6}$은 $(x-1)(x-6)=(x-k)(x-2)$가 된다.
- 분수를 평범한 다항식 방정식으로 바꾸는 것이다.
💡 교차 곱셈은 두 분모를 한꺼번에 양변에 곱하는 것일 뿐이고, 두 분모가 모두 $0$이 아니면 언제나 정당하다.
6.EE.A.3 단계 2 양변 전개하기
- 각 변을 곱해서 펼친다.
- 왼쪽은 $(x-1)(x-6)=x^2-7x+6$이다.
- 오른쪽은 $(x-k)(x-2)=x^2-(k+2)x+2k$이다.
- 양변 모두 $x^2$으로 시작하므로 다음 단계에서 그 항은 사라진다.
💡 전개하면 두 곱이 표준적인 $x^2+\dots$ 꼴이 되어 같은 항끼리 맞춰 볼 수 있다.
8.EE.C.7 단계 3 제곱항 지우고 x 모으기
- 양변에서 $x^2$을 빼면 완전히 사라지고 $-7x+6=-(k+2)x+2k$가 남는다.
- 이제 $x$항은 왼쪽에, 상수는 오른쪽에 모은다.
- 양변에 $(k+2)x$를 더하고 $6$을 빼면 $(k+2)x-7x=2k-6$, 즉 $(k-5)x=2k-6$이 된다.
💡 $x^2$ 조각들이 맞아떨어져 사라지면 남는 것은 일차방정식이고, 그 모든 성질은 계수 $(k-5)$에 들어 있다.
8.EE.C.7 단계 4 어떤 x도 안 되는 경우 찾기
- $(k-5)x=2k-6$은 $k-5$로 나누어 풀 수 있는데, 이는 $k-5\neq0$일 때만 가능하다.
- $k=5$이면 왼쪽은 모든 $x$에 대해 $0\cdot x=0$이 되고, 오른쪽은 $2(5)-6=4$이다.
- 이는 $0=4$가 되어 어떤 $x$로도 거짓이므로 해가 없다.
- 다른 $k$에서는 계수 $k-5$가 $0$이 아니므로 $x=\frac{2k-6}{k-5}$가 진짜 값이 된다.
💡 일차방정식은 $x$항이 사라지는데 $0$이 아닌 수가 남아 $0$과 같기를 요구할 때 정확히 해가 없다.
8.EE.C.7 단계 5 나머지 네 선택지는 해가 있음을 확인
- $k=1,2,3,4$이면 $x=\frac{2k-6}{k-5}$이 차례로 $x=1,\tfrac{2}{3},0,-2$이 된다.
- 어느 것도 금지된 $x=2$나 $x=6$에 닿지 않는다(사실 $x=\frac{2k-6}{k-5}=2$이면 $-6=-10$이 되어 불가능하고, $x=6$이려면 $k=6$이어야 하는데 선택지에 없다).
- 그러므로 그 네 개의 $k$는 모두 유효한 해를 준다.
- $k=5$만 방정식을 풀 수 없게 만들며, 이는 선택지 (E)이다.
💡 남은 선택지를 넣어 보면 모두 정당한 $x$를 만들어 내므로, 깨지는 하나가 답이다.
6.EE.B.6 $x\neq2$이고 $x\neq6$이면 서로 같은 두 분수는 교차 곱셈을 할 수 있다. 양변에 $(x-2)(x-6)$을 곱하면 $\frac{x- 6.EE.A.3 각 변을 곱해서 펼친다. 왼쪽은 $(x-1)(x-6)=x^2-7x+6$이다. 오른쪽은 $(x-k)(x-2)=x^2-(k+2)x+2k$이다. 양변 8.EE.C.7 양변에서 $x^2$을 빼면 완전히 사라지고 $-7x+6=-(k+2)x+2k$가 남는다. 이제 $x$항은 왼쪽에, 상수는 오른쪽에 모은다. 양변에 8.EE.C.7 $(k-5)x=2k-6$은 $k-5$로 나누어 풀 수 있는데, 이는 $k-5\neq0$일 때만 가능하다. $k=5$이면 왼쪽은 모든 $x$에 대 8.EE.C.7 $k=1,2,3,4$이면 $x=\frac{2k-6}{k-5}$이 차례로 $x=1,\tfrac{2}{3},0,-2$이 된다. 어느 것도 금지된 $ 검토
합리성 확인: $k=5$를 원래 방정식에 넣으면 $\frac{x-1}{x-2}=\frac{x-5}{x-6}$이다. 교차 곱셈하면 $(x-1)(x-6)=(x-5)(x-2)$, 즉 $x^2-7x+6=x^2-7x+10$이 되어 $6=10$으로 간단해진다. 이는 어떤 $x$로도 성립하지 않는 모순이라 주장과 정확히 일치한다. 그리고 다른 네 선택지는 각각 $2$와 $6$을 피하는 깔끔한 $x$ 값을 내놓았으므로, 다섯 선택지 중 $k=5$만 해가 없다.
대안 접근: 일반적으로 풀지 않고 구조를 보자. 분모 두 개는 $4$만큼 차이 난다($x-2$와 $x-6$). 방정식은 분자들도 같은 만큼 차이 날 때, 즉 $x-1$과 $x-5$일 때 무너지므로 $k=5$이다. 또는 각 선택지를 교차 곱셈으로 직접 시험해도 되는데, $k=5$만 $6=10$ 같은 거짓 수식을 만든다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.EE.B.6Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems ($k$를 고정된 미지의 매개변수로 다루고 방정식을 $x$에 관한 다항식 진술로 교차 곱셈하는 데 사용.)6.EE.A.3Apply the properties of operations to generate equivalent expressions ($(x-1)(x-6)$과 $(x-k)(x-2)$를 $x^2-7x+6$과 $x^2-(k+2)x+2k$로 전개하는 데 사용.)8.EE.C.7Solve linear equations in one variable ($(k-5)x=2k-6$으로 줄이고, $k=5$가 이를 $0\cdot x=4$로 만들어 해가 없는 일차방정식이 됨을 인식하는 데 사용.)
⭐ 분수를 없애고 정리하라. $x$항은 사라지는데 $0$이 아닌 수가 남을 때 방정식은 해가 없고, 그 일은 $k=5$에서 일어난다.
⭐ 분수를 없애고 정리하라. $x$항은 사라지는데 $0$이 아닌 수가 남을 때 방정식은 해가 없고, 그 일은 $k=5$에서 일어난다.
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