AMC 10 · 2002 · #14

학년 8 number-theory

유형 Units-Digit Tracking └ 세부 유형 Tail Collapses to Zero

exponentsprime-factorizationdigit-sum easier-related-problem ↑ 선수 지식: exponentsprime-factorization

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

수 $25^{64}\cdot 64^{25}$ 은 어떤 양의 정수 $N$ 의 제곱이다. $N$ 을 십진법으로 나타냈을 때 각 자리 숫자의 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 거대한 수 $25^{64}\cdot 64^{25}$ 가 어떤 양의 정수의 제곱이 된다. 그 제곱근을 $N$ 이라 하자. $N$ 을 일반적인 십진수로 썼을 때 각 자리 숫자를 모두 더하면 얼마인가.

주어진 것: 주어진 수는 $25^{64}\cdot 64^{25}$ 이다; 이 수는 어떤 양의 정수 $N$ 에 대해 $N^2$ 과 같다; 자릿수 합의 선택지: (A) $7$, (B) $14$, (C) $21$, (D) $28$, (E) $35$

구하는 것: $N=\sqrt{25^{64}\cdot 64^{25}}$ 의 각 자리 숫자를 모두 더한 값

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #15 다르게 정리하기, #5 패턴 찾기

이 수는 천문학적으로 크므로, 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기) 로 불가능한 계산을 쉬운 계산으로 바꾼다. $25$ 와 $64$ 를 소수 $5$ 와 $2$ 의 거듭제곱으로 쪼개면, 제곱근을 구하는 일은 지수를 반으로 나누는 일이 된다. 이어서 도구 #15 (다르게 정리하기) 로 남은 $2$ 들과 $5$ 들을 다시 묶어 같은 개수끼리 $10$ 으로 짝짓는다. 마지막으로 도구 #5 (패턴 찾기): $10$ 의 거듭제곱을 곱하면 끝에 $0$ 만 붙으므로, 자릿수 합은 앞쪽의 몇 안 되는 $0$ 이 아닌 숫자에서만 나온다.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.EE.A.1 단계 1

밑을 소수로 쪼개기

두 밑 모두 하나의 소수의 거듭제곱이다.
$25=5^2$, $64=2^6$ 이므로, 거듭제곱의 거듭제곱 법칙(지수끼리 곱하기)을 쓰면 $25^{64}=(5^2)^{64}=5^{128}$, $64^{25}=(2^6)^{25}=2^{150}$ 이다.
전체 곱은 $5^{128}\cdot 2^{150}$ 이 되어, 같은 수를 이제 소수 $2$ 와 $5$ 만으로 나타낸다.

$$25^{64}\cdot 64^{25}=(5^2)^{64}\cdot(2^6)^{25}=5^{128}\cdot 2^{150}$$

💡 거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 지수끼리 곱해져서, 지저분한 밑이 깔끔한 소수 거듭제곱으로 바뀐다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.EE.A.1 단계 2

지수를 반으로 나눠 제곱근 구하기

소수 거듭제곱의 제곱근은 그 지수를 반으로 줄인다.
$\sqrt{p^{2k}}=p^{k}$ 이기 때문이다.
여기서 두 지수 모두 짝수이므로 $N=\sqrt{5^{128}\cdot 2^{150}}=5^{128/2}\cdot 2^{150/2}=5^{64}\cdot 2^{75}$ 이다.
이것이 바로 정수 $N$ 이며, 아직 소수 꼴로 남아 있다.

$$N=\sqrt{5^{128}\cdot 2^{150}}=5^{64}\cdot 2^{75}$$

💡 제곱하면 지수가 두 배가 되므로, 그 반대인 제곱근은 지수를 반으로 자른다.

#15 다르게 정리하기 8.EE.A.1 단계 3

$2$ 와 $5$ 를 짝지어 $10$ 만들기

$2$ 와 $5$ 를 곱하면 $10$ 이 되므로, 가능한 한 많이 짝짓는다.
$2$ 를 쪼개어 $64$ 개를 드러내면 $2^{75}=2^{64}\cdot 2^{11}$ 이다.
이제 $64$ 개의 $2$ 를 $64$ 개의 $5$ 와 짝지으면 $5^{64}\cdot 2^{64}=(2\cdot 5)^{64}=10^{64}$ 이 된다.
그러면 $N=2^{11}\cdot 10^{64}$ 만 남는다.

$$N=5^{64}\cdot 2^{75}=(5\cdot 2)^{64}\cdot 2^{11}=2^{11}\cdot 10^{64}$$

💡 $5$ 하나와 짝지어진 $2$ 하나는 $10$ 이 되고, $10$ 들이 바로 끝에 붙는 $0$ 을 만든다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.EE.A.1 단계 4

앞쪽 수 계산하기

남은 $2^{11}$ 만이 실제 숫자를 담고 있다.
계산하면 $2^{11}=2048$ 이다.
따라서 $N=2048\cdot 10^{64}$ 이다.

$$2^{11}=2048$$

💡 짝지어진 $10$ 들은 $0$ 만 붙일 뿐이므로, 의미 있는 숫자는 모두 앞쪽의 작은 인수에 들어 있다.

#5 패턴 찾기 5.NBT.A.2 단계 5

$0$ 붙이고 자릿수 더하기

$2048$ 에 $10^{64}$ 을 곱하면 $2048$ 뒤에 $0$ 이 $64$ 개 붙는다.
$0$ 은 자릿수 합에 아무것도 더하지 않으므로, $N$ 의 자릿수 합은 $2+0+4+8=14$ 이다.
이것이 선택지 (B) 이다.

$$N=2048\underbrace{00\ldots0}_{64\text{개의 }0},\quad 2+0+4+8=14\ \textbf{(B)}$$

💡 $10$ 의 거듭제곱을 곱하면 숫자를 왼쪽으로 밀고 $0$ 을 채울 뿐, 자릿수 합은 결코 바뀌지 않는다.

[1] #9 8.EE.A.1 두 밑 모두 하나의 소수의 거듭제곱이다. $25=5^2$, $64=2^6$ 이므로, 거듭제곱의 거듭제곱 법칙(지수끼리 곱하기)을 쓰면 $25^{

[2] #9 8.EE.A.1 소수 거듭제곱의 제곱근은 그 지수를 반으로 줄인다. $\sqrt{p^{2k}}=p^{k}$ 이기 때문이다. 여기서 두 지수 모두 짝수이므로 $N

[3] #15 8.EE.A.1 $2$ 와 $5$ 를 곱하면 $10$ 이 되므로, 가능한 한 많이 짝짓는다. $2$ 를 쪼개어 $64$ 개를 드러내면 $2^{75}=2^{64}

[4] #9 6.EE.A.1 남은 $2^{11}$ 만이 실제 숫자를 담고 있다. 계산하면 $2^{11}=2048$ 이다. 따라서 $N=2048\cdot 10^{64}$ 이다

[5] #5 5.NBT.A.2 $2048$ 에 $10^{64}$ 을 곱하면 $2048$ 뒤에 $0$ 이 $64$ 개 붙는다. $0$ 은 자릿수 합에 아무것도 더하지 않으므로,

검토

합리성 확인: 지수를 다시 제곱해 확인하자: $(2^{11}\cdot 10^{64})^2=2^{22}\cdot 10^{128}=2^{22}\cdot 2^{128}\cdot 5^{128}=2^{150}\cdot 5^{128}$ 이고, 이는 $64^{25}\cdot 25^{64}$ 와 정확히 일치한다. 따라서 $N=2^{11}\cdot 10^{64}$ 이 맞다. 자릿수 합 $14$ 도 주어진 선택지 안에 잘 들어 있으며, 대부분이 끝에 붙는 $0$ 인 수의 자릿수 합이 작은 것은 자연스럽다.

대안 접근: 지수를 반으로 나누는 대신, 제곱근을 $\sqrt{25^{64}}\cdot\sqrt{64^{25}}$ 로 먼저 나눠도 된다. 앞은 $25^{32}=5^{64}$ 이고, 뒤는 $8=\sqrt{64}$ 이므로 $\sqrt{64^{25}}=8^{25}=2^{75}$ 이다. 다시 $N=5^{64}\cdot 2^{75}=2^{11}\cdot 10^{64}$ 이 되어, 같은 숫자 $2048$ 과 자릿수 합 $14$ 로 이어진다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.EE.A.1 정수 지수의 성질을 알고 적용하기 ($(5^2)^{64}=5^{128}$ 과 $(2^6)^{25}=2^{150}$ 으로 고치고, 제곱근을 구하려 지수를 반으로 나눠 $5^{64}\cdot 2^{75}$ 를 얻고, $5^{64}\cdot 2^{64}=10^{64}$ 으로 다시 묶는 데 사용.)
6.EE.A.1 자연수 지수를 포함한 수식을 쓰고 계산하기 ($N$ 에서 $0$ 이 아닌 숫자를 담은 유일한 부분인 남은 인수 $2^{11}=2048$ 을 계산하는 데 사용.)
5.NBT.A.2 $0$ 의 개수와 소수점 위치의 규칙 설명하기 ($2048$ 에 $10^{64}$ 을 곱하면 $0$ 이 $64$ 개 붙고, 그 $0$ 들은 자릿수 합에 아무것도 더하지 않음을 알아내는 데 사용.)

⭐ 무서운 밑을 $2$ 와 $5$ 의 거듭제곱으로 바꾸고, $2$ 마다 $5$ 를 짝지어 $10$ (곧 끝에 붙는 $0$)을 만들면, 남는 작은 $2^{11}=2048$ 이 자릿수 합 $2+0+4+8=14$ 를 알려준다.