AMC 10 · 2002 · #14
학년 8 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
이 수는 천문학적으로 크므로, 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)로 불가능한 계산을 쉬운 계산으로 바꾼다. 25와 64를 소수 5와 2의 거듭제곱으로 쪼개면, 제곱근을 구하는 일은 지수를 반으로 나누는 일이 된다. 이어서 도구 #15 (다르게 정리하기)로 남은 2 들과 5 들을 다시 묶어 같은 개수끼리 10으로 짝짓는다. 마지막으로 도구 #5 (패턴 찾기): 10의 거듭제곱을 곱하면 끝에 0만 붙으므로, 자릿수 합은 앞쪽의 몇 안 되는 0이 아닌 숫자에서만 나온다.
밑을 소수로 쪼개기
25=5², 64=2⁶이므로 지수끼리 곱하면 25⁶⁴ · 64²⁵=5¹²⁸ · 2¹⁵⁰이다.
거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 지수끼리 곱해져서, 지저분한 밑이 깔끔한 소수 거듭제곱으로 바뀐다.
8.EE.A.1Solve An Easier Related Problem지수를 반으로 나눠 제곱근 구하기
제곱근은 각 지수를 반으로 줄이고, 두 지수 모두 짝수이므로 N=5⁶⁴ · 2⁷⁵이다.
제곱하면 지수가 두 배가 되므로, 그 반대인 제곱근은 지수를 반으로 자른다.
8.EE.A.1Solve An Easier Related Problem2와 5를 짝지어 10 만들기
2⁷⁵=2⁶⁴ · 2¹¹로 쪼갠 뒤 2⁶⁴과 5⁶⁴을 짝지으면 10⁶⁴이 되어 N=2¹¹ · 10⁶⁴만 남는다.
5 하나와 짝지어진 2 하나는 10이 되고, 10 들이 바로 끝에 붙는 0을 만든다.
2를 5와 짝지으면 10이 되고, 10이야말로 끝자리 0을 만든다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 2와 5의 재고가 미리 정해져 있다.
▸ 왜?
10을 곱하면 모든 자릿수가 한 자리 왼쪽으로 밀리고 뒤에 0이 하나 놓인다.
앞쪽 수 계산하기
남은 2¹¹만 실제 숫자를 담는다. 2¹¹=2048이므로 N=2048 · 10⁶⁴이다.
짝지어진 10 들은 0만 붙일 뿐이므로, 의미 있는 숫자는 모두 앞쪽의 작은 인수에 들어 있다.
6.EE.A.1Solve An Easier Related Problem0 붙이고 자릿수 더하기
N은 2048 뒤에 0이 64 개 붙은 수이고, 0은 합에 보태지 않으므로 2+0+4+8=14이다.
10의 거듭제곱을 곱하면 숫자를 왼쪽으로 밀고 0을 채울 뿐, 자릿수 합은 결코 바뀌지 않는다.
5.NBT.A.2Look For A Pattern무서운 밑을 2와 5의 거듭제곱으로 바꾸고, 2마다 5를 짝지어 10(곧 끝에 붙는 0)을 만들면, 남는 작은 2¹¹=2048이 자릿수 합 2+0+4+8=14를 알려준다.
- 밑을 소수로 쪼개기
- 지수를 반으로 나눠 제곱근 구하기
- 2와 5를 짝지어 10 만들기
- 앞쪽 수 계산하기
- 0 붙이고 자릿수 더하기