AMC 10 · 2024 · #8

학년 8 arithmetic

유형 Units-Digit Tracking └ 세부 유형 Power Cycle Lookup

divisor-countfactorsunits-digit-trackingprime-factorization identify-subproblemsunits-digit-trackingmodular-arithmetic-mod-10 ↑ 선수 지식: factorsprime-factorizationunits-digit-tracking

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

42 의 모든 양의 약수를 곱한 값을 N 이라 합시다. N 의 일의 자리 숫자를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

도구 #5(패턴 찾기)가 포착하는 패턴은 약수의 대칭성입니다 — 모든 약수 d 에는 유일한 "짝" $\frac{42}{d}$ 가 있고, 두 수의 곱은 늘 42. 그러니 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 약수를 한번 정리해 두면, 4 개 짝의 곱 42 × 42 × 42 × 42 = 42⁴ 로 묶을 수 있습니다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일의 자리 질문을 "42⁴ 의 일의 자리는?" 로 줄여주고, 이건 결국 2 의 4 제곱의 끝자리에만 의존합니다.

1STEP 1

42 = 2 × 3 × 7 이므로 모든 약수는 {2, 3, 7} 의 부분집합 곱이라 총 8 개.

42 의 약수: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

2STEP 2

작은 약수마다 곱이 42 가 되는 짝을 맞추면, 여덟 약수가 4 쌍으로 나뉘어요.

1 · 42 = 42, 2 · 21 = 42, 3 · 14 = 42, 6 · 7 = 42

3STEP 3

4 쌍이 각각 42 를 기여하므로 전체 곱은 42⁴ 로 정리돼요.

N = 1 · 2 · 3 · 6 · 7 · 14 · 21 · 42 = (1 · 42)(2 · 21)(3 · 14)(6 · 7) = 42⁴

4STEP 4

거듭제곱의 끝자리는 밑의 끝자리를 따르므로 42⁴ 는 2⁴ = 16 의 끝자리, 즉 6 로 끝나요 — 선택지 (D).

42⁴ ≡ 2⁴ ≡ 16 ≡ 6 (mod 10) → (D)

정답

끝자리만 따라가는 "느린 길" 로도 검증해 봅시다. 각 약수의 일의 자리를 차례로 곱하기: 1 · 2 · 3 · 6 · 7 · 4 · 1 · 2. 끝자리만 추적: 1 → 2 → 6 → 6 → 2 → 8 → 8 → 6. 일의 자리 = 6 으로 답 (D) 와 일치. 짝짓기 기법은 같은 답을 훨씬 적은 산수로 얻게 해 줍니다.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 지수 법칙만 알면 풀 수 있어요 — 42 의 약수들을 곱이 42 가 되도록 짝지으면 N = 42⁴, 그 일의 자리는 2⁴ = 16 의 끝자리!

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