AMC 10 · 2003 · #11

학년 6 arithmetic

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Figure Constraint Equations for Unknown Quantity

place-valuelinear-equations-one-vardigit-decomposition convert-to-algebrawork-backwards ↑ 선수 지식: place-value

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

두 개의 다섯 자리 수 $AMC10$ 과 $AMC12$ 의 합이 $123422$ 이다. 이때 $A+M+C$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 개의 다섯 자리 수가 $AMC10$과 $AMC12$로 쓰여 있고, $A$, $M$, $C$는 두 수에서 똑같은 한 자리 숫자입니다. 두 수의 합이 $123422$일 때, $A+M+C$를 구하세요.

주어진 것: $AMC10$은 숫자 $A$, $M$, $C$, $1$, $0$이 이 순서로 놓인 다섯 자리 수입니다.; $AMC12$는 숫자 $A$, $M$, $C$, $1$, $2$가 이 순서로 놓인 다섯 자리 수입니다.; $A$, $M$, $C$는 두 수에서 같은 숫자를 나타냅니다.; $AMC10 + AMC12 = 123422$입니다.; 보기: (A) $10$, (B) $11$, (C) $12$, (D) $13$, (E) $14$.

구하는 것: $A+M+C$의 값.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #11 거꾸로 풀기

두 수가 거의 똑같이 생겼으므로, 먼저 도구 #5 (패턴 찾기)로 실제로 무엇이 바뀌는지 찾습니다. 오직 맨 마지막 숫자만 $0$과 $2$로 다릅니다. 즉 두 번째 수는 첫 번째 수보다 딱 $2$만큼 큽니다. 그래서 미지의 수가 둘이 아니라 사실은 하나뿐입니다. 이어서 도구 #4 (변수 도입하기)로 그 하나의 수를 $N$이라 부르면, 문제 전체가 깔끔한 방정식 하나로 바뀝니다. 마지막으로 도구 #11 (거꾸로 풀기)로 방정식을 되짚어 $+2$를 되돌리고 두 배를 되돌려 $N$을 찾으면, $N$의 각 자릿수가 바로 $A$, $M$, $C$를 알려 줍니다.

실행 — 정답: E

#5 패턴 찾기 4.NBT.A.2 단계 1

두 수가 쌍둥이임을 알아채기

$AMC10$과 $AMC12$를 한 자리씩 비교합니다.
앞의 네 자리 $A$, $M$, $C$, $1$은 완전히 같고, 마지막 자리만 다릅니다.
첫 번째 수는 $0$, 두 번째 수는 $2$입니다.
일의 자리를 $0$에서 $2$로 바꾸면 딱 $2$가 늘어납니다.
따라서 두 번째 수는 첫 번째 수에 $2$를 더한 것입니다: $AMC12 = AMC10 + 2$.

$$AMC12 = AMC10 + 2$$

💡 두 수가 일의 자리만 빼고 모든 자리에서 같다면, 두 수의 차이는 그 마지막 숫자들의 차이일 뿐입니다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 2

수에 이름을 붙여 방정식 하나 세우기

첫 번째 수 $AMC10$을 $N$이라 합시다.
그러면 두 번째 수는 $N+2$이고, 주어진 합은 $N + (N+2)$가 됩니다.
두 개의 $N$을 더하면 $2N$이므로 합은 $2N+2$입니다.
이것을 $123422$와 같다고 놓으면 문제 전체가 방정식 하나로 바뀝니다.

$$N + (N + 2) = 2N + 2 = 123422$$

💡 거의 같은 두 수의 합은 한 수의 거의 두 배이므로, 그 한 수에 이름을 붙이면 미지수 둘이 하나로 줄어듭니다.

#11 거꾸로 풀기 6.EE.B.7 단계 3

$+2$를 되돌리고, 두 배를 되돌리기

합에서 거꾸로 풀어 갑니다.
먼저 여분의 $2$를 없앱니다: $2N = 123422 - 2 = 123420$.
그다음 두 배를 되돌리려고 반으로 나눕니다: $N = 123420 \div 2 = 61710$.
따라서 첫 번째 수 $AMC10$은 $61710$입니다.

$$2N = 123420 \;\Rightarrow\; N = 61710$$

💡 합을 만든 각 연산을 반대로 되돌리면, 그 안에 숨어 있던 하나의 수만 남습니다.

#4 변수 도입하기 4.NBT.A.2 단계 4

자릿수를 읽어 더하기

$AMC10$은 $61710$과 같으므로 자릿수를 $A$, $M$, $C$, $1$, $0$에 맞춰 봅니다: $A=6$, $M=1$, $C=7$이고, 마지막 두 자리는 실제로 $1$과 $0$으로 패턴이 요구하는 그대로입니다.
따라서 $A+M+C = 6+1+7 = 14$이고, 이는 보기 (E)입니다.

$$A=6,\; M=1,\; C=7 \;\Rightarrow\; A+M+C = 14$$

💡 수가 정해지고 나면, 각 문자는 그 자릿값 자리에 앉아 있는 숫자일 뿐입니다.

[1] #5 4.NBT.A.2 $AMC10$과 $AMC12$를 한 자리씩 비교합니다. 앞의 네 자리 $A$, $M$, $C$, $1$은 완전히 같고, 마지막 자리만 다릅니다.

[2] #4 6.EE.B.6 첫 번째 수 $AMC10$을 $N$이라 합시다. 그러면 두 번째 수는 $N+2$이고, 주어진 합은 $N + (N+2)$가 됩니다. 두 개의 $N

[3] #11 6.EE.B.7 합에서 거꾸로 풀어 갑니다. 먼저 여분의 $2$를 없앱니다: $2N = 123422 - 2 = 123420$. 그다음 두 배를 되돌리려고 반으로

[4] #4 4.NBT.A.2 $AMC10$은 $61710$과 같으므로 자릿수를 $A$, $M$, $C$, $1$, $0$에 맞춰 봅니다: $A=6$, $M=1$, $C=7$

검토

합리성 확인: 답을 두 가지 방법으로 확인합니다. 첫째, 구한 숫자로 $A=6$, $M=1$, $C=7$이므로 $AMC10 = 61710$, $AMC12 = 61712$이고, 두 수의 합은 $61710 + 61712 = 123422$로 문제와 정확히 일치합니다. 둘째, $AMC10$의 고정된 마지막 두 자리 $1$과 $0$이 제대로 나왔으니 자릿수가 어긋나지 않았음을 확인합니다. $A$, $M$, $C$는 각각 한 자리 숫자이므로 그 합은 많아야 $27$이고, 따라서 $14$는 알맞은 크기이며 보기 (E)에 나옵니다.

대안 접근: 자릿값을 직접 씁니다 (도구 #13, 대수로 바꾸기): $AMC10 = 10000A + 1000M + 100C + 10$, $AMC12 = 10000A + 1000M + 100C + 12$입니다. 더하면 $20000A + 2000M + 200C + 22 = 123422$이므로 $20000A + 2000M + 200C = 123400$입니다. 각 항을 $200$으로 나누면 $100A + 10M + C = 617$이 되어 $A=6$, $M=1$, $C=7$로 읽히고, 다시 $A+M+C = 14$입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.A.2 Read and write multi-digit whole numbers and compare using symbols (두 수를 한 자리씩 비교해 일의 자리만 다름을 알아내고, 최종 값 61710에서 자릿수 A, M, C를 읽어내는 데 사용.)
6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems ($N$이 $AMC10$을 나타내게 하고 두 수의 합을 식 $2N + 2$로 쓰는 데 사용.)
6.EE.B.7 Solve real-world problems by writing and solving equations of the form px = q ($2N + 2 = 123422$에서 $2$를 없애고 반으로 나누어 $N = 61710$을 구하는 데 사용.)

⭐ 두 수는 마지막 한 자리만 빼고 똑같아서 한 수가 다른 수보다 $2$만 큽니다. 그래서 합은 첫 번째 수의 두 배에 $2$를 더한 것이 되고, 그 과정을 거꾸로 풀면 $AMC10 = 61710$이 되어 $A+M+C = 6+1+7 = 14$입니다.