AMC 10 · 2003 · #11
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AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
두 수가 거의 똑같이 생겼으므로, 먼저 도구 #5 (패턴 찾기)로 실제로 무엇이 바뀌는지 찾습니다. 오직 맨 마지막 숫자만 0과 2로 다릅니다. 즉 두 번째 수는 첫 번째 수보다 딱 2만큼 큽니다. 그래서 미지의 수가 둘이 아니라 사실은 하나뿐입니다. 이어서 도구 #4 (변수 도입하기)로 그 하나의 수를 N이라 부르면, 문제 전체가 깔끔한 방정식 하나로 바뀝니다. 마지막으로 도구 #11 (거꾸로 풀기)로 방정식을 되짚어 +2를 되돌리고 두 배를 되돌려 N을 찾으면, N의 각 자릿수가 바로 A, M, C를 알려 줍니다.
두 수가 쌍둥이임을 알아채기
AMC10과 AMC12는 앞 네 자리가 같고 일의 자리만 0과 2로 다르니, AMC12 = AMC10 + 2입니다.
두 수가 일의 자리만 빼고 모든 자리에서 같다면, 두 수의 차이는 그 마지막 숫자들의 차이일 뿐입니다.
두 수가 일의 자리 말고 모든 자리에서 같다면, 그 차는 마지막 자릿수의 차일 뿐이다.
▸ 왜?
수는 자릿수에 자리의 무게를 곱한 것이므로, 같은 자리는 같은 양을 보탠다.
▸ 왜?
두 수가 공유하는 것은 뺄셈에서 지워지고, 다른 곳만 남는다.
수에 이름을 붙여 방정식 하나 세우기
첫 번째 수를 N이라 하면 두 번째 수는 N + 2이므로, 합은 2N + 2 = 123422가 됩니다.
거의 같은 두 수의 합은 한 수의 거의 두 배이므로, 그 한 수에 이름을 붙이면 미지수 둘이 하나로 줄어듭니다.
6.EE.B.6Introduce A Variable+2를 되돌리고, 두 배를 되돌리기
거꾸로 풀어 여분의 2를 없애면 2N = 123420이고, 반으로 나누면 N = 61710입니다.
합을 만든 각 연산을 반대로 되돌리면, 그 안에 숨어 있던 하나의 수만 남습니다.
6.EE.B.7Work Backwards자릿수를 읽어 더하기
61710을 A, M, C, 1, 0에 맞추면 A=6, M=1, C=7이므로 A+M+C = 14, 보기 (E)입니다.
수가 정해지고 나면, 각 문자는 그 자릿값 자리에 앉아 있는 숫자일 뿐입니다.
4.NBT.A.2Introduce A Variable두 수는 마지막 한 자리만 빼고 똑같아서 한 수가 다른 수보다 2만 큽니다. 그래서 합은 첫 번째 수의 두 배에 2를 더한 것이 되고, 그 과정을 거꾸로 풀면 AMC10 = 61710이 되어 A+M+C = 6+1+7 = 14입니다.
- 두 수가 쌍둥이임을 알아채기
- 수에 이름을 붙여 방정식 하나 세우기
- +2를 되돌리고, 두 배를 되돌리기
- 자릿수를 읽어 더하기