AMC 10 · 2003 · #25
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AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
깔끔한 출발점은 각 조각에 이름을 붙이는 것입니다. 도구 #4 (변수 도입하기)로 나눗셈을 n = 100q + r로 써서 '몫과 나머지'라는 말을 방정식 하나로 바꿉니다. 진짜 열쇠는 이 식이 드러내는 사실입니다. 100q + r를 99q + (q + r)로 다시 씁니다. 99가 11의 배수이므로, 복잡해 보이는 목표 q + r와 n 자신은 11로 나눌 때 항상 같은 나머지를 남깁니다 (도구 #5, 패턴 찾기 — 100이 11의 배수보다 딱 1만 크다는 패턴). 그래서 '11이 q+r를 나눈다'는 물음은 '11이 n을 나눈다'는 물음과 완전히 똑같습니다. 이 맞바꿈이 바로 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)입니다. 두 변수를 쫓는 대신, 다섯 자리 수인 11의 배수를 세기만 하면 되는 짧고 곧바른 셈이 됩니다.
나눗셈을 방정식 하나로 쓰기
n을 100으로 나누면 n = 100q + r (0 ≤ r ≤ 99). q는 앞 세 자리(100999), r는 뒤 두 자리(099)입니다.
100으로 나누는 것은 수의 뒤 두 자리를 나머지로 떼어 내고 앞부분을 몫으로 남기는 것일 뿐입니다.
4.NBT.B.6Introduce A Variableq+r가 드러나도록 다시 쓰기
원하는 것은 q + r인데 식은 100q + r입니다. 100q를 99q + q로 쪼개면 n = 99q + (q + r)로 그 합이 드러납니다.
100q에서 99q를 벗겨 내면 q 하나가 남아 r와 짝을 이루며, 우리가 찾던 합이 드러납니다.
6.EE.A.3Introduce A Variableq+r와 n이 11로의 나누어떨어짐을 공유함을 보기
99 = 9 × 11이라 99q는 늘 11의 배수이므로, q + r가 11의 배수인 것은 n이 11의 배수인 것과 같습니다.
11의 배수만큼 차이 나는 두 수는 '11로 나누어떨어지는가?'에 항상 같은 답을 줍니다.
11의 배수만큼 차이 나는 두 수는 11로 나누어떨어지는지에 대해 언제나 같은 답을 준다.
▸ 왜?
나눈 나머지만 살아남으므로, 온전한 배수만큼 밀어도 그것은 그대로다.
▸ 왜?
두 양을 같은 만큼 밀어도 그 차는 그대로 남는다.
11의 배수 세기로 바꾸기
이제 다섯 자리 11의 배수를 셉니다. 가장 작은 것은 11 × 910 = 10010, 가장 큰 것은 11 × 9090 = 99990입니다.
유효한 n들은 일정한 간격으로 놓인 11의 배수 목록이며, 다섯 자리를 유지하는 첫 배수와 마지막 배수 사이에 갇혀 있습니다.
4.OA.B.4Solve An Easier Related Problem목록의 개수 세기
11 × 910부터 11 × 9090까지, 즉 910부터 9090까지 세면 9090 - 910 + 1 = 8181입니다.
일정한 간격의 수를 세는 것은 그 배수 번호를 세는 것과 같습니다: 마지막에서 처음을 빼고, 끝 값을 위해 1을 더합니다.
4.OA.C.5Solve An Easier Related Problem100은 11의 배수보다 딱 1만 크기 때문에, 수 n과 합 q+r는 11로 나눌 때 항상 같은 나머지를 남깁니다. 그래서 문제는 '다섯 자리 11의 배수가 몇 개인가?'일 뿐이고, 그 개수는 8181입니다.
- 나눗셈을 방정식 하나로 쓰기
- q+r가 드러나도록 다시 쓰기
- q+r와 n이 11로의 나누어떨어짐을 공유함을 보기
- 11의 배수 세기로 바꾸기
- 목록의 개수 세기