AMC 10 · 2006 · #18
학년 6 arithmetic recursive-sequencepattern-recognitionmodular-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: recursive-sequence
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
수열 a₁, a₂, a₃, …은 a₁ = 2, a₂ = 3으로 시작한다. 세 번째 항부터는 각 항이 바로 앞 항을 그 앞 항으로 나눈 값과 같다. 즉 n ≥ 3인 모든 n에 대해 이다. 2006번째 항 a₂₀₀₆의 값을 구하여라.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\frac{1}{2}$
(B)
$\frac{2}{3}$
(C)
$\frac{3}{2}$
(D)
2
(E)
3
AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이 과정
전략 패턴 찾기
항 번호 2006은 한 항씩 계산해서 도달하기엔 너무 크다. 하지만 규칙이 두 항만 뒤돌아보므로, 연속한 두 항의 쌍이 다시 나타나면 그 지점부터 수열 전체가 반복될 수밖에 없다. 계획은 처음 몇 항을 나열해 반복을 찾아내고, 그 반복 길이를 이용해 2006번째 항으로 곧장 건너뛰는 것이다.
1STEP 1
처음 몇 항 나열하기
규칙을 한 항씩 적용한다. 분수로 나누는 것은 그 역수를 곱하는 것과 같다.
a₃ = a₂/a₁ = 3/2, a₄ = a₃/a₂ = 3/2/3 = 1/2, a₅ = a₄/a₃ = 1/2/3/2 = 1/3, a₆ = a₅/a₄ = 1/3/1/2 = 2/3
규칙을 몇 번 따라가며 나오는 값을 적어보기만 하면 된다.
6.NS.A.1Make A Systematic List2STEP 2
반복 찾아내기
두 항 더 구하면 a₇ = 2, a₈ = 3으로 처음 쌍이 되돌아온다. 규칙이 최근 두 항만 보므로 수열은 6항마다 반복된다.
a₇ = a₆/a₅ = 2/3/1/3 = 2 = a₁, a₈ = a₇/a₆ = 2/2/3 = 3 = a₂
시작 쌍이 다시 등장하면 수열은 반복될 수밖에 없다.
처음의 짝이 다시 나타나면, 수열은 되풀이될 수밖에 없다.
▸ 왜?
규칙은 최근의 항만 읽으므로, 같은 짝은 언제나 같은 이어짐을 낳는다.
주기는 한 주기 뒤 제자리로 돌아온다길이가 p인 고정된 반복 주기는 p걸음마다 같은 자리로 돌아온다.
▸ 왜?
길이가 정해진 되풀이 안에서는 나머지만이 먼 항이 어디에 놓일지를 정한다.
나머지가 있는 나눗셈N을 크기 d의 묶음으로 나누면 N = q·d + r (0 ≤ r < d); r=0일 때만 N은 d의 배수다.
3STEP 3
순환을 이용해 2006번째 항으로 건너뛰기
이므로 a₂₀₀₆은 묶음 안에서 a₂와 같은 자리, 곧 3이다. 답은 (E).
2006 = 6 × 334 + 2 → a₂₀₀₆ = a₂ = 3
반복 묶음 안에서 어느 자리에 떨어지는지만 중요하고, 2006은 2와 같은 자리에 떨어진다.
6.NS.B.2Solve An Easier Related Problem정답
3
순환 주장을 직접 확인한다: 나열한 여섯 값 2, 3, 3/2, 1/2, 1/3, 2/3은 7번째와 8번째 자리에서 실제로 2, 3으로 돌아오므로 주기 6은 진짜이다. 나머지 단계는 작은 항 번호로 쉽게 검증된다: 8 = 6 + 2이므로 a₈은 a₂와 같아야 하고, 실제로 a₈ = 3이다. 같은 논리로 a₂₀₀₆ = a₂ = 3이 되며, 답은 예상대로 주어진 선택지 안에 있다.
💡핵심 정리
수열이 반복되기 시작하면 반복 길이를 먼저 찾고, 나머지를 이용해 멀리 있는 항이 그 반복 안 어디에 떨어지는지 보면 된다.
- 처음 몇 항 나열하기
- 반복 찾아내기
- 순환을 이용해 2006번째 항으로 건너뛰기