AMC 10 · 2003 · #25

학년 6 number-theory

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Floor Count Across Residue Bins

modular-arithmeticdivisibility-rulesplace-value convert-to-algebraeasier-related-problem ↑ 선수 지식: modular-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

$n$ 을 $5$ 자리 수라 하고, $n$ 을 $100$ 으로 나눌 때의 몫과 나머지를 각각 $q$ , $r$ 라 하자. $q+r$ 가 $11$ 로 나누어떨어지는 $n$ 의 값은 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

8180

(B)

8181

(C)

8182

(D)

9000

(E)

9090

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 수 $n$은 다섯 자리 수입니다. $n$을 $100$으로 나눌 때 몫을 $q$, 나머지를 $r$라고 합시다. 다섯 자리 수 $n$ 중에서 합 $q+r$가 $11$의 배수가 되는 것이 몇 개인지 세세요.

주어진 것: $n$은 다섯 자리 수이므로 $10000 \le n \le 99999$입니다.; $q$는 $n$을 $100$으로 나눈 몫, $r$는 나머지이므로 $n = 100q + r$이고 $0 \le r \le 99$입니다.; $q + r$가 $11$로 나누어떨어지는 $n$의 개수를 구합니다.; 보기: (A) $8180$, (B) $8181$, (C) $8182$, (D) $9000$, (E) $9090$.

구하는 것: $11$이 $q+r$를 나누는, 다섯 자리 수 $n$의 개수.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #5 패턴 찾기

깔끔한 출발점은 각 조각에 이름을 붙이는 것입니다. 도구 #4 (변수 도입하기)로 나눗셈을 $n = 100q + r$로 써서 '몫과 나머지'라는 말을 방정식 하나로 바꿉니다. 진짜 열쇠는 이 식이 드러내는 사실입니다. $100q + r$를 $99q + (q + r)$로 다시 씁니다. $99$가 $11$의 배수이므로, 복잡해 보이는 목표 $q + r$와 $n$ 자신은 $11$로 나눌 때 항상 같은 나머지를 남깁니다 (도구 #5, 패턴 찾기 — $100$이 $11$의 배수보다 딱 $1$만 크다는 패턴). 그래서 '$11$이 $q+r$를 나눈다'는 물음은 '$11$이 $n$을 나눈다'는 물음과 완전히 똑같습니다. 이 맞바꿈이 바로 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기)입니다. 두 변수를 쫓는 대신, 다섯 자리 수인 $11$의 배수를 세기만 하면 되는 짧고 곧바른 셈이 됩니다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 4.NBT.B.6 단계 1

나눗셈을 방정식 하나로 쓰기

$n$을 $100$으로 나누면 몫 $q$와 나머지 $r$가 나오고, 이는 $n = 100q + r$ (단, $0 \le r \le 99$)를 뜻합니다.
구체적으로 $q$는 $n$의 앞 세 자리로 이루어진 수, $r$는 뒤 두 자리로 이루어진 수입니다.
$10000$부터 $99999$까지의 다섯 자리 수 $n$에 대해 몫 $q$는 $100$부터 $999$까지, 나머지 $r$는 $0$부터 $99$까지 움직입니다.

$$n = 100q + r, \quad 0 \le r \le 99$$

💡 $100$으로 나누는 것은 수의 뒤 두 자리를 나머지로 떼어 내고 앞부분을 몫으로 남기는 것일 뿐입니다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.3 단계 2

$q+r$가 드러나도록 다시 쓰기

우리가 관심 있는 것은 $q + r$인데, 식에는 $100q + r$가 있습니다.
$100q$를 $99q + q$로 쪼개어 $q$ 하나가 $r$와 짝을 이루게 합니다: $n = 100q + r = 99q + q + r = 99q + (q + r)$.
이제 우리가 원하는 바로 그 양 $q + r$가 $n$을 나타내는 식 안에 놓여 있습니다.

$$n = 100q + r = 99q + (q + r)$$

💡 $100q$에서 $99q$를 벗겨 내면 $q$ 하나가 남아 $r$와 짝을 이루며, 우리가 찾던 합이 드러납니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.B.4 단계 3

$q+r$와 $n$이 $11$로의 나누어떨어짐을 공유함을 보기

$99 = 9 \times 11$이므로 $99q$는 항상 $11$의 배수입니다.
따라서 $n = 99q + (q + r)$는 '$11$의 배수 더하기 $(q + r)$'입니다.
$11$의 배수를 더해도 어떤 수가 $11$로 나누어떨어지는지 여부는 절대 바뀌지 않습니다.
그러므로 $11$이 $q + r$를 나누는 것은 $11$이 $n$ 자신을 나누는 것과 정확히 같습니다.
$q + r$에 대한 어려워 보이는 조건은 사실 '$n$이 $11$의 배수'라는 조건일 뿐입니다.

$$99q \equiv 0 \pmod{11} \;\Rightarrow\; 11 \mid (q+r) \iff 11 \mid n$$

💡 $11$의 배수만큼 차이 나는 두 수는 '$11$로 나누어떨어지는가?'에 항상 같은 답을 줍니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.B.4 단계 4

$11$의 배수 세기로 바꾸기

이제 물음은 간단합니다.
다섯 자리 수인 $11$의 배수는 몇 개일까요?
가장 작은 것과 가장 큰 것을 찾습니다.
가장 작은 다섯 자리 $11$의 배수: $10000 \div 11 \approx 909.1$이므로 다음 배수는 $11 \times 910 = 10010$입니다.
가장 큰 것: $99999 \div 11 \approx 9090.8$이므로 마지막 배수는 $11 \times 9090 = 99990$입니다.
$10010$부터 $99990$까지의 모든 $11$의 배수가 유효한 $n$입니다.

$$11 \times 910 = 10010, \qquad 11 \times 9090 = 99990$$

💡 유효한 $n$들은 일정한 간격으로 놓인 $11$의 배수 목록이며, 다섯 자리를 유지하는 첫 배수와 마지막 배수 사이에 갇혀 있습니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.C.5 단계 5

목록의 개수 세기

$10010$부터 $99990$까지의 $11$의 배수는 $11 \times 910, 11 \times 911, \ldots, 11 \times 9090$입니다.
이것을 세는 것은 $910$부터 $9090$까지의 정수를 세는 것과 같으며, 그 개수는 $9090 - 910 + 1 = 8181$입니다.
따라서 조건을 만족하는 $n$은 $8181$개이고, 이는 보기 (B)입니다.

$$9090 - 910 + 1 = 8181$$

💡 일정한 간격의 수를 세는 것은 그 배수 번호를 세는 것과 같습니다: 마지막에서 처음을 빼고, 끝 값을 위해 $1$을 더합니다.

[1] #4 4.NBT.B.6 $n$을 $100$으로 나누면 몫 $q$와 나머지 $r$가 나오고, 이는 $n = 100q + r$ (단, $0 \le r \le 99$)를 뜻

[2] #4 6.EE.A.3 우리가 관심 있는 것은 $q + r$인데, 식에는 $100q + r$가 있습니다. $100q$를 $99q + q$로 쪼개어 $q$ 하나가 $r$

[3] #5 4.OA.B.4 $99 = 9 \times 11$이므로 $99q$는 항상 $11$의 배수입니다. 따라서 $n = 99q + (q + r)$는 '$11$의 배수

[4] #9 4.OA.B.4 이제 물음은 간단합니다. 다섯 자리 수인 $11$의 배수는 몇 개일까요? 가장 작은 것과 가장 큰 것을 찾습니다. 가장 작은 다섯 자리 $11$

[5] #9 4.OA.C.5 $10010$부터 $99990$까지의 $11$의 배수는 $11 \times 910, 11 \times 911, \ldots, 11 \times

검토

합리성 확인: 크기를 점검합니다. 다섯 자리 수는 $99999 - 10000 + 1 = 90000$개이고, 그중 약 $11$개마다 하나가 $11$의 배수이므로 $90000 \div 11 \approx 8181.8$입니다. 정확한 개수 $8181$은 이 추정값 바로 옆에 있으므로 자릿수 규모가 맞고, 동떨어진 보기 $9000$과 $9090$을 배제합니다. 또한 $8182$와도 붙어 있어 양 끝의 신중한 셈이 중요합니다: 조건을 만족하는 가장 작은 $n$은 $10010$ (($10000$이 아니라)), 가장 큰 것은 $99990$이고, $9090 - 910 + 1 = 8181$이 (C)가 아닌 (B)임을 확인해 줍니다. 논리 점검: $n = 10010$을 잡으면 $q = 100$, $r = 10$이고 $q + r = 110 = 11 \times 10$으로 실제로 $11$로 나누어떨어집니다.

대안 접근: $n$으로 바꾸지 않고 쌍 $(q, r)$로 직접 셉니다. 고정된 몫 $q$마다 ($100$부터 $999$까지 $900$개), $0 \le r \le 99$이고 $q + r$가 $11$로 나누어떨어지는 나머지 $r$가 필요합니다. 즉 $r$가 $11$을 법으로 하는 정해진 나머지 부류에 있어야 합니다. $r = 0, 1, \ldots, 99$ (이는 $100 = 9 \times 11 + 1$개) 중에서 나머지 부류 $0$은 $10$번 ($0, 11, \ldots, 99$), 다른 모든 나머지 부류는 $9$번씩 나옵니다. 필요한 부류가 $0$인 것은 정확히 $q$가 $11$의 배수일 때입니다. $100$부터 $999$까지의 $11$의 배수는 $11 \times 10$부터 $11 \times 90$까지, 즉 $q$의 값 $81$개입니다. 따라서 총합은 $81 \times 10 + (900 - 81) \times 9 = 810 + 7371 = 8181$로 $11$의 배수를 센 결과와 일치합니다. $11$의 배수를 세는 길이 훨씬 깔끔하기에 이를 본풀이로 삼았습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.B.6 Find whole-number quotients and remainders with up to four-digit dividends ('$n$을 $100$으로 나눈 몫 $q$와 나머지 $r$'를 방정식 $n = 100q + r$ ($0 \le r \le 99$)로 바꾸는 데 사용.)
6.EE.A.3 Apply the properties of operations to generate equivalent expressions ($100q + r$를 동치인 $99q + (q + r)$로 다시 써서 목표 합 $q + r$를 $n$ 안에 드러내는 데 사용.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite ($99 = 9 \times 11$을 $11$의 배수로 인식해 $11 \mid (q+r) \iff 11 \mid n$을 결론짓고, 다섯 자리 $11$의 배수의 최소·최대를 찾는 데 사용.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule ($11 \times 910$부터 $11 \times 9090$까지 일정 간격의 $11$의 배수를 $9090 - 910 + 1 = 8181$로 세는 데 사용.)

⭐ $100$은 $11$의 배수보다 딱 $1$만 크기 때문에, 수 $n$과 합 $q+r$는 $11$로 나눌 때 항상 같은 나머지를 남깁니다. 그래서 문제는 '다섯 자리 $11$의 배수가 몇 개인가?'일 뿐이고, 그 개수는 $8181$입니다.