AMC 10 · 2003 · #3

학년 6 geometry-3d

유형 Solid Volume by Decomposition └ 세부 유형 Fraction or Difference of a Bounding Solid

volume-rectangular-prismpercentagespatial-visualization identify-subproblems ↑ 선수 지식: volume-rectangular-prism

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

직육면체 상자의 크기는 $15$ cm $\times$ $10$ cm $\times$ $8$ cm이다. 이 상자의 각 꼭짓점에서 한 변이 $3$ cm인 정육면체를 하나씩 잘라내어 새로운 입체를 만든다. 잘려 나간 부분은 원래 부피의 몇 퍼센트인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$4.5\%$

(B)

$9\%$

(C)

$12\%$

(D)

$18\%$

(E)

$24\%$

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직육면체 상자의 크기는 가로 $15$ cm, 세로 $10$ cm, 높이 $8$ cm이다. 이 상자의 각 꼭짓점에서 한 변이 $3$ cm인 정육면체를 하나씩 잘라낸다. 잘려 나간 부분이 원래 부피의 몇 퍼센트인지 구하여라.

주어진 것: 상자는 직육면체이다: 길이 $15$ cm, 너비 $10$ cm, 높이 $8$ cm; 각 꼭짓점에서 한 변이 $3$ cm인 정육면체를 하나씩 잘라낸다; 선택지: (A) $4.5\%$, (B) $9\%$, (C) $12\%$, (D) $18\%$, (E) $24\%$

구하는 것: 잘려 나간 부분이 원래 부피에서 차지하는 퍼센트

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #17 공간 상상하기, #8 단위 살펴보기

"퍼센트"라는 말 안에는 세 개의 작은 일이 숨어 있어서, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 이렇게 나눈다: 상자 전체의 부피 구하기, 잘려 나간 부피 구하기, 그다음 그 비를 퍼센트로 바꾸기. 풀이에서 실수하기 쉬운 곳은 꼭짓점 개수를 세는 부분이므로, 도구 #17(공간 상상하기)로 상자에는 꼭짓점이 $4$개나 $6$개가 아니라 정확히 $8$개 있음을 확정한다. 도구 #8(단위 살펴보기)로 모든 부피를 cm$^3$으로 맞춰 두면 마지막 비가 깔끔한 수 대 수의 퍼센트가 된다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 5.MD.C.5 단계 1

상자 전체의 부피

상자는 직육면체이므로 부피는 가로 곱하기 세로 곱하기 높이이다.
$15 \times 10 \times 8$을 계산한다.
두 단계로 나누면 $15 \times 10 = 150$, 그다음 $150 \times 8 = 1200$.
상자는 $1200$ 세제곱센티미터를 담는다.

$$V_{\text{상자}} = 15 \times 10 \times 8 = 1200 \text{ cm}^3$$

💡 상자가 차지하는 공간의 양은 세 변의 길이를 서로 곱한 것일 뿐이다.

#17 공간 상상하기 5.MD.C.5 단계 2

꼭짓점 세기와 정육면체 하나

상자를 방이라고 생각해 보자.
직육면체 상자에는 꼭짓점이 $8$개 있다 — 윗면에 네 개, 아랫면에 네 개.
각 꼭짓점에서 한 변이 $3$ cm인 정육면체를 잘라내는데, 그 정육면체 하나의 부피는 $3 \times 3 \times 3 = 27$ 세제곱센티미터이다.

$$8 \text{개의 꼭짓점}, \qquad V_{\text{정육면체}} = 3^3 = 27 \text{ cm}^3$$

💡 상자에는 아래쪽 네 모서리와 위쪽 네 모서리마다 꼭짓점이 하나씩 있어 모두 여덟 개다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.5 단계 3

잘려 나간 총 부피

잘라낸 $8$개의 정육면체는 모두 크기가 같으므로, 잘려 나간 총량은 $27$을 $8$번 더한 것이다.
$8 \times 27 = 216$을 계산한다.
따라서 모두 합해 $216$ 세제곱센티미터가 잘려 나간다.

$$V_{\text{제거}} = 8 \times 27 = 216 \text{ cm}^3$$

💡 똑같은 조각 여덟 개를 잘라내면 조각 하나 크기의 여덟 배가 된다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 4

비를 퍼센트로 바꾸기

잘려 나간 퍼센트는 잘린 부피를 원래 부피로 나눈 값을 $100$을 기준으로 나타낸 것이다.
즉 $\dfrac{216}{1200}$이다.
나누면 $216 \div 1200 = 0.18$, 곧 $18\%$이다.
따라서 잘려 나간 양은 원래 상자의 $18\%$이고, 답은 (D)이다.

$$\dfrac{V_{\text{제거}}}{V_{\text{상자}}} = \dfrac{216}{1200} = 0.18 = 18\% \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 "몇 퍼센트"란 부분을 전체로 나눈 뒤 $100$을 기준으로 읽는 것이다.

[1] #7 5.MD.C.5 상자는 직육면체이므로 부피는 가로 곱하기 세로 곱하기 높이이다. $15 \times 10 \times 8$을 계산한다. 두 단계로 나누면 $15

[2] #17 5.MD.C.5 상자를 방이라고 생각해 보자. 직육면체 상자에는 꼭짓점이 $8$개 있다 — 윗면에 네 개, 아랫면에 네 개. 각 꼭짓점에서 한 변이 $3$ cm

[3] #7 5.NBT.B.5 잘라낸 $8$개의 정육면체는 모두 크기가 같으므로, 잘려 나간 총량은 $27$을 $8$번 더한 것이다. $8 \times 27 = 216$을 계

[4] #8 6.RP.A.3 잘려 나간 퍼센트는 잘린 부피를 원래 부피로 나눈 값을 $100$을 기준으로 나타낸 것이다. 즉 $\dfrac{216}{1200}$이다. 나누면

검토

합리성 확인: 잘려 나간 부피 $216$ cm$^3$은 $1200$ cm$^3$ 상자에서 작은 조각이므로, 답은 사분의 일보다 훨씬 작아야 하는데 $18\%$가 바로 그렇다. 빠른 확인: $\tfrac{216}{1200}$은 $\tfrac{240}{1200} = \tfrac{1}{5} = 20\%$보다 조금 작으므로 $18\%$는 딱 맞는 자리에 있다. 만약 꼭짓점을 잘못하여 $6$개로 쓰면 $\tfrac{162}{1200} = 13.5\%$(해당 선택지 없음), $4$개로 쓰면 $9\%$(선택지 B)가 나오는데, 둘 다 꼭짓점 개수를 잘못 세도록 만든 함정이다. 즉 개수를 정확히 세는 것이 이 문제의 핵심이다.

대안 접근: 먼저 더하는 대신 정육면체 하나당 퍼센트로 계산할 수도 있다. 정육면체 하나는 상자의 $\dfrac{27}{1200} = 2.25\%$이다. 여덟 개면 $8 \times 2.25\% = 18\%$로 같은 답 (D)가 나온다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.MD.C.5 Relate volume to the operations of multiplication and addition (상자의 부피를 $15 \times 10 \times 8$로, 각 꼭짓점 정육면체를 $3^3$으로 구하는 데 사용.)
5.NBT.B.5 Fluently multiply multi-digit whole numbers ($8 \times 27$을 곱해 잘려 나간 총 부피를 구하는 데 사용.)
6.RP.A.3 Use ratio and rate reasoning to solve real-world and mathematical problems (잘린 부피 대 원래 부피의 비 $\tfrac{216}{1200}$을 퍼센트 $18\%$로 나타내는 데 사용.)

⭐ "몇 퍼센트가 잘려 나갔나"는 결국 잘린 부피를 전체 부피로 나눈 것일 뿐이다 — 그리고 상자에는 꼭짓점이 네 개가 아니라 여덟 개 있다는 것을 기억하자.