AMC 10 · 2003 · #12

학년 7 algebra

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known

systems-of-equationslinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: systems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Al, Betty, Clare가 1000 달러를 나누어 가지며, 세 사람의 금액은 모두 다르다. 1년 뒤 Betty와 Clare는 각자 돈이 두 배가 되었고, Al은 100 달러를 잃었으며, 세 사람이 가진 돈의 합은 1500 달러가 되었다. Al이 처음에 가진 금액을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\textdollar 250$

(B)

$\textdollar 350$

(C)

$\textdollar 400$

(D)

$\textdollar 450$

(E)

$\textdollar 500$

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

이 문제에는 세 사람의 처음 금액이라는 미지수가 숨어 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 각각에 문자를 붙여 "1000 달러를 나누어 가진다"를 하나의 식으로 바꾼다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 두 배가 되고, 100 달러를 잃고, 합이 1500 달러라는 1년 뒤 사실들을 두 번째 식으로 옮긴다. 핵심은 도구 #16(관점 바꾸기)이다. 구하는 것은 Al의 몫뿐이고 Betty와 Clare는 언제나 B+C로 함께 나타나므로, 두 사람의 금액을 따로 구할 필요가 없다. B+C를 1000-A로 바꾸면 모든 것이 A에 대한 하나의 식으로 줄어든다.

1STEP 1

세 사람의 처음 몫에 이름 붙이기

Al, Betty, Clare의 처음 금액을 A, B, C라 하자. 세 몫을 합치면 A + B + C = 1000이다.

A + B + C = 1000

2STEP 2

1년 뒤 합 식 세우기

1년 뒤 Betty와 Clare는 2B와 2C, Al은 A - 100을 가지고, 그 합은 1500이다.

(A - 100) + 2B + 2C = 1500

3STEP 3

Betty와 Clare를 Al로 바꾸기

구하는 건 A뿐이고 B와 C는 늘 붙어 다닌다. B + C = 1000 - A이므로 2B + 2C는 2(1000 - A)가 된다.

(A - 100) + 2(1000 - A) = 1500

4STEP 4

Al의 몫 구하기

정리하면 1900 - A = 1500이므로 Al의 처음 몫은 400 달러, 곧 (C)이다.

A - 100 + 2000 - 2A = 1500 → 1900 - A = 1500 → A = 400 → (C)

정답

400

1년을 되짚어 답을 확인하자. Al이 400 달러로 시작했다면 Betty와 Clare는 합쳐서 1000 - 400 = 600 달러로 시작했고, 이는 두 배가 되어 1200 달러가 된다. Al은 400 - 100 = 300 달러로 끝난다. 1년 뒤 합은 1200 + 300 = 1500 달러로 문제와 정확히 일치하므로 (C)가 맞다. 전체가 500 달러 늘어난 것도 자연스럽다. 두 배가 되면서 600 달러가 늘고 Al의 손해로 100 달러가 빠졌기 때문이다.

💡핵심 정리

문제가 미지수 하나만 물어볼 때는 나머지를 한 덩어리로 묶어 통째로 바꿔라. 그러면 모든 문자를 쫓지 않고 식 하나만 풀면 된다.

세 사람의 처음 몫에 이름 붙이기
1년 뒤 합 식 세우기
Betty와 Clare를 Al로 바꾸기
Al의 몫 구하기

세 사람의 처음 몫에 이름 붙이기

1년 뒤 합 식 세우기

Betty와 Clare를 Al로 바꾸기

Al의 몫 구하기

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