AMC 10 · 2003 · #12

학년 7 algebra

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known

systems-of-equationslinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: systems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Al, Betty, Clare가 $\textdollar 1000$ 을 나누어 여러 방식으로 투자하기로 했다. 세 사람은 각자 서로 다른 금액으로 시작한다. 1년 뒤 세 사람이 가진 돈의 합은 $\textdollar 1500$ 이 되었다. Betty와 Clare는 각자 돈을 두 배로 불렸지만, Al은 $\textdollar100$ 을 잃고 말았다. Al이 처음에 가진 몫은 얼마였는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\textdollar 250$

(B)

$\textdollar 350$

(C)

$\textdollar 400$

(D)

$\textdollar 450$

(E)

$\textdollar 500$

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Al, Betty, Clare가 $\textdollar 1000$을 서로 다른 금액으로 나누어 가진다. 1년 뒤 Betty와 Clare는 각자 돈이 두 배가 되었고, Al은 $\textdollar 100$을 잃었으며, 세 사람이 가진 돈의 합은 $\textdollar 1500$이 되었다. Al이 처음에 가진 금액을 구하여라.

주어진 것: 세 사람의 처음 금액의 합은 $\textdollar 1000$이다; 1년 뒤 Betty와 Clare의 금액은 각각 두 배가 된다; 1년 뒤 Al의 금액은 $\textdollar 100$ 줄어든다; 1년 뒤 세 사람의 금액의 합은 $\textdollar 1500$이다; 선택지: (A) $\textdollar 250$, (B) $\textdollar 350$, (C) $\textdollar 400$, (D) $\textdollar 450$, (E) $\textdollar 500$

구하는 것: Al이 처음에 가진 금액(달러)

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #16 관점 바꾸기

이 문제에는 세 사람의 처음 금액이라는 미지수가 숨어 있으므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 각각에 문자를 붙여 "$\textdollar 1000$을 나누어 가진다"를 하나의 식으로 바꾼다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 두 배가 되고, $\textdollar 100$을 잃고, 합이 $\textdollar 1500$이라는 1년 뒤 사실들을 두 번째 식으로 옮긴다. 핵심은 도구 #16(관점 바꾸기)이다. 구하는 것은 Al의 몫뿐이고 Betty와 Clare는 언제나 $B+C$로 함께 나타나므로, 두 사람의 금액을 따로 구할 필요가 없다. $B+C$를 $1000-A$로 바꾸면 모든 것이 $A$에 대한 하나의 식으로 줄어든다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

세 사람의 처음 몫에 이름 붙이기

Al, Betty, Clare가 처음에 넣은 금액(달러)을 각각 $A$, $B$, $C$라 하자.
세 사람은 $\textdollar 1000$을 나누어 가지므로 세 몫의 합은 $1000$이다.

$$A + B + C = 1000$$

💡 미지의 몫마다 문자를 붙이면 "$\textdollar 1000$을 나누어 가진다"라는 문장이 정확한 식 하나로 바뀐다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 2

1년 뒤 합 식 세우기

1년 뒤 Betty와 Clare는 각각 두 배가 되었으므로 $2B$와 $2C$를 가진다.
Al은 $\textdollar 100$을 잃었으므로 $A - 100$을 가진다.
세 사람을 합치면 $\textdollar 1500$이 되므로 두 번째 식을 얻는다.

$$(A - 100) + 2B + 2C = 1500$$

💡 "두 배", "$\textdollar 100$ 손해", "합 $\textdollar 1500$"이 각각 한 식의 한 조각으로 그대로 옮겨진다.

#16 관점 바꾸기 6.EE.A.3 단계 3

Betty와 Clare를 Al로 바꾸기

우리가 원하는 것은 $A$뿐이고, $B$와 $C$는 항상 $B + C$로 함께 다닌다.
첫 번째 식에서 $B + C = 1000 - A$이므로 $2B + 2C = 2(B + C) = 2(1000 - A)$이다.
이를 1년 뒤 식에 대입하면 $A$만 남는다.

$$(A - 100) + 2(1000 - A) = 1500$$

💡 두 배가 된 두 몫이 언제나 짝으로만 나타나므로, 그 합을 통째로 바꾸면 $A$ 말고는 미지수가 사라진다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 4

Al의 몫 구하기

$2$를 분배하고 같은 항끼리 모으면 $A - 100 + 2000 - 2A = 1500$이 되고, 정리하면 $1900 - A = 1500$이다.
따라서 $A = 1900 - 1500 = 400$이다.
Al의 처음 몫은 $\textdollar 400$, 즉 선택지 (C)이다.

$$A - 100 + 2000 - 2A = 1500 \;\Rightarrow\; 1900 - A = 1500 \;\Rightarrow\; A = 400 \Rightarrow \textbf{(C)}$$

💡 $A$ 외의 미지수가 모두 사라지면 한 줄 정리로 Al의 몫이 나온다.

[1] #4 6.EE.B.6 Al, Betty, Clare가 처음에 넣은 금액(달러)을 각각 $A$, $B$, $C$라 하자. 세 사람은 $\textdollar 1000$을

[2] #13 7.EE.B.4 1년 뒤 Betty와 Clare는 각각 두 배가 되었으므로 $2B$와 $2C$를 가진다. Al은 $\textdollar 100$을 잃었으므로 $

[3] #16 6.EE.A.3 우리가 원하는 것은 $A$뿐이고, $B$와 $C$는 항상 $B + C$로 함께 다닌다. 첫 번째 식에서 $B + C = 1000 - A$이므로

[4] #13 7.EE.B.4 $2$를 분배하고 같은 항끼리 모으면 $A - 100 + 2000 - 2A = 1500$이 되고, 정리하면 $1900 - A = 1500$이다.

검토

합리성 확인: 1년을 되짚어 답을 확인하자. Al이 $\textdollar 400$으로 시작했다면 Betty와 Clare는 합쳐서 $1000 - 400 = \textdollar 600$으로 시작했고, 이는 두 배가 되어 $\textdollar 1200$이 된다. Al은 $400 - 100 = \textdollar 300$으로 끝난다. 1년 뒤 합은 $1200 + 300 = \textdollar 1500$으로 문제와 정확히 일치하므로 (C)가 맞다. 전체가 $\textdollar 500$ 늘어난 것도 자연스럽다. 두 배가 되면서 $\textdollar 600$이 늘고 Al의 손해로 $\textdollar 100$이 빠졌기 때문이다.

대안 접근: 식을 풀지 않고 합으로 따져볼 수도 있다. Al이 $\textdollar 100$을 잃지 않았다면 1년 뒤 합은 $1500 + 100 = \textdollar 1600$이 되고, 이는 변하지 않은 Al의 몫에 Betty와 Clare의 두 배가 된 몫을 더한 값이다. Betty와 Clare가 두 배가 되었다는 것은 그들의 몫이 처음 금액만큼 늘었다는 뜻이고, 전체는 $\textdollar 1000$에서 $\textdollar 1600$으로 $\textdollar 600$ 늘었다. 이 $\textdollar 600$이 곧 Betty와 Clare의 처음 금액의 합이므로, Al에게는 $1000 - 600 = \textdollar 400$이 남는다 — 역시 (C)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.B.6 문제를 풀 때 변수로 수를 나타내고 식을 세우기 (세 처음 몫을 $A$, $B$, $C$로 이름 붙이고 $A + B + C = 1000$을 세우는 데 사용.)
7.EE.B.4 변수로 양을 나타내고 간단한 방정식을 세워 문제 풀기 (두 배, $\textdollar 100$ 손해, 합 $\textdollar 1500$을 방정식으로 옮기고 $A$에 대해 푸는 데 사용.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 이용해 동치인 식 만들기 ($2B + 2C$를 $2(1000 - A)$로 바꾸고 분배하여 $A$만 남기는 데 사용.)

⭐ 문제가 미지수 하나만 물어볼 때는 나머지를 한 덩어리로 묶어 통째로 바꿔라. 그러면 모든 문자를 쫓지 않고 식 하나만 풀면 된다.