AMC 10 · 2003 · #15
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AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
경기 수를 라운드별로 하나하나 세려면 부전승과 매 라운드 살아남는 선수 수를 계속 따라가야 해서 번거롭고 실수하기 쉽다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 질문을 바꾼다. 경기를 세는 대신 탈락하는 선수를 세는 것이다. 경기 한 번마다 선수가 정확히 한 명 탈락하므로, 경기 수와 탈락자 수는 같은 수이기 때문이다. 이어서 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 세기가 아주 쉬워진다. 100명 중 우승자 1명을 남기려면 정확히 99명이 탈락해야 하고, 부전승 숫자는 아무 상관이 없어진다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 99를 다섯 보기와 대조해 맞는 것을 고른다.
경기 하나에 패자 하나 짝짓기
경기마다 패자가 정확히 한 명 나와 탈락하므로, 경기 수는 탈락자 수와 같다.
경기 한 번이 선수 한 명을 떨어뜨리므로, 경기 수와 탈락자 수는 하나씩 함께 늘어난다.
한 경기가 정확히 한 사람을 떨어뜨리므로, 경기 수와 탈락자 수가 하나씩 함께 오른다.
▸ 왜?
각 경기는 정확히 한 번의 탈락과 짝지어지므로, 어느 쪽을 세든 같다.
▸ 왜?
우승자 한 명만 빼고 모두 탈락하므로, 진 사람의 수는 전체에서 하나를 뺀 것이다.
탈락하는 인원 세기
우승자만 지지 않으므로 100 - 1 = 99명이 탈락하고, 경기는 99번이다. 부전승은 무관하다.
정확히 한 명만 한 번도 지지 않으므로, 나머지 99명이 각각 한 번씩 졌고, 그만큼의 승부가 있었다.
2.NBT.B.5Solve An Easier Related Problem99를 보기와 대조하기
99 = 3 × 3 × 11이라 합성수·홀수이고 5나 7로도 나누어지지 않는다. 11만 나누므로 (E)이다.
99를 9 × 11로 인수분해하면 약수 11이 드러나고, 다른 보기는 맞지 않음이 보인다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities경기 수를 구하려면 경기를 세지 말고 누가 탈락하는지 세라. 우승자가 한 명이면 나머지 99명이 각각 한 번씩 졌으니 경기는 99번이다.
- 경기 하나에 패자 하나 짝짓기
- 탈락하는 인원 세기
- 99를 보기와 대조하기
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