AMC 10 · 2003 · #15

학년 4 number-theory

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known

complementary-countingdivisibility-rules complementary-countingeasier-related-problem ↑ 선수 지식: divisibility-rules

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

단판 토너먼트(single elimination)에 $100$ 명의 선수가 참가한다. 단판 토너먼트란 한 경기라도 진 선수는 탈락하는 방식을 뜻한다. 1라운드에서 가장 강한 $28$ 명은 부전승(bye)을 받고, 나머지 $72$ 명은 짝을 지어 경기한다. 각 라운드가 끝나면 남은 선수들이 다음 라운드에서 경기한다. 한 번도 지지 않은 선수가 한 명만 남을 때까지 경기가 계속된다. 치러진 경기의 총 횟수는

$\qquad\textbf{(A) } \text{a prime number}$

$\qquad\textbf{(B) } \text{divisible by 2}$

$\qquad\textbf{(C) } \text{divisible by 5}$

$\qquad\textbf{(D) } \text{divisible by 7}$

$\qquad\textbf{(E) } \text{divisible by 11}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

a prime number

(B)

divisible by 2

(C)

divisible by 5

(D)

divisible by 7

(E)

divisible by 11

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 선수 $100$명으로 시작하는 단판 토너먼트(single elimination)에서, 한 번도 지지 않은 선수가 정확히 한 명 남을 때 끝난다. 일부 선수는 1라운드에서 부전승(bye)을 받고 나머지는 짝을 지어 경기하지만, 어떤 경기든 한 명이 탈락한다. 치러진 경기의 총 횟수를 구하고, 그 수를 올바르게 설명한 보기를 고르라.

주어진 것: 처음에 선수가 $100$명 있다; 단판 토너먼트: 한 경기라도 지면 그 선수는 완전히 탈락한다; 1라운드에서 $28$명은 부전승을 받고, 나머지 $72$명은 짝을 지어 경기한다; 한 번도 지지 않은 선수가 한 명 남을 때까지 경기가 계속된다

구하는 것: 토너먼트 전체에서 치러진 경기의 총 횟수와, 그 수가 보기 ((A) 소수, 또는 (B) $2$, (C) $5$, (D) $7$, (E) $11$로 나누어떨어짐) 중 어디에 해당하는지

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기

경기 수를 라운드별로 하나하나 세려면 부전승과 매 라운드 살아남는 선수 수를 계속 따라가야 해서 번거롭고 실수하기 쉽다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 질문을 바꾼다. 경기를 세는 대신 탈락하는 선수를 세는 것이다. 경기 한 번마다 선수가 정확히 한 명 탈락하므로, 경기 수와 탈락자 수는 같은 수이기 때문이다. 이어서 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 세기가 아주 쉬워진다. $100$명 중 우승자 $1$명을 남기려면 정확히 $99$명이 탈락해야 하고, 부전승 숫자는 아무 상관이 없어진다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 $99$를 다섯 보기와 대조해 맞는 것을 고른다.

실행 — 정답: E

#16 관점 바꾸기 2.OA.A.1 단계 1

경기 하나에 패자 하나 짝짓기

단판 토너먼트에서 모든 경기는 패자가 정확히 한 명 나오며, 그 패자는 토너먼트에서 탈락한다.
그래서 완벽한 일대일 대응이 생긴다.
치러진 경기 하나마다 탈락한 선수가 정확히 한 명 대응된다.
즉 경기의 수는 탈락한 선수의 수와 같다.
이것이 핵심 전환이다.
경기를 세지 말고 탈락자를 세자.

💡 경기 한 번이 선수 한 명을 떨어뜨리므로, 경기 수와 탈락자 수는 하나씩 함께 늘어난다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 2.NBT.B.5 단계 2

탈락하는 인원 세기

토너먼트는 한 번도 지지 않은 우승자 한 명으로 끝난다.
나머지 모두는 경기에서 져서 탈락했다.
$100$명 중 우승자 한 명을 뺀 전원이 탈락하므로, 탈락한 인원은 $100 - 1 = 99$명이다.
앞 단계의 일대일 대응에 의해 총 경기 수도 $99$이다.
$28$명의 부전승과 $72$명의 짝짓기는 이 계산에 전혀 들어오지 않았다.
함정이었다.

$$100 - 1 = 99 \text{ 경기}$$

💡 정확히 한 명만 한 번도 지지 않으므로, 나머지 $99$명이 각각 한 번씩 졌고, 그만큼의 승부가 있었다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 3

99를 보기와 대조하기

이제 $99$가 어느 설명에 맞는지 확인한다.
인수분해하면 $99 = 9 \times 11 = 3 \times 3 \times 11$이다.
따라서 $99$는 합성수이므로 (A)가 제외된다.
홀수이므로 $2$로 나누어떨어지지 않아 (B)가 제외된다.
끝자리가 $0$이나 $5$가 아니므로 $5$로 나누어떨어지지 않아 (C)가 제외된다.
$7$로 나누면 $99 = 7 \times 14 + 1$이라 딱 나누어지지 않으므로 (D)가 제외된다.
그러나 $99 = 9 \times 11$이므로 $11$로 나누어떨어진다.
이것이 보기 (E)이다.

$$99 = 3^2 \times 11 \Rightarrow 11 \mid 99 \Rightarrow \textbf{(E)}$$

💡 $99$를 $9 \times 11$로 인수분해하면 약수 $11$이 드러나고, 다른 보기는 맞지 않음이 보인다.

[1] #16 2.OA.A.1 단판 토너먼트에서 모든 경기는 패자가 정확히 한 명 나오며, 그 패자는 토너먼트에서 탈락한다. 그래서 완벽한 일대일 대응이 생긴다. 치러진 경기

[2] #9 2.NBT.B.5 토너먼트는 한 번도 지지 않은 우승자 한 명으로 끝난다. 나머지 모두는 경기에서 져서 탈락했다. $100$명 중 우승자 한 명을 뺀 전원이 탈락

[3] #3 4.OA.B.4 이제 $99$가 어느 설명에 맞는지 확인한다. 인수분해하면 $99 = 9 \times 11 = 3 \times 3 \times 11$이다. 따라

검토

합리성 확인: 라운드별로 빠르게 검산해도 $99$가 확인된다. 1라운드는 짝지은 $72$명이 $36$경기를 치러 부전승 $28$명 $+$ 승자 $36$명 $= 64$명이 남는다. 이어서 $32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63$경기로 $64$명을 $1$명까지 줄인다. 합계 $36 + 63 = 99$로 탈락자 수와 정확히 일치한다. $99 = 9 \times 11$은 $11$로 나누어떨어지고 다른 보기에는 해당하지 않으므로, (E)가 유일하게 맞는 설명이다.

대안 접근: 탈락 아이디어 대신 라운드별로 경기를 더해도 된다. $100$명에서 시작해 $72$명이 경기($36$경기)하여 $64$명이 남고, 이어 $64 \to 32$경기, $32 \to 16$, $16 \to 8$, $8 \to 4$, $4 \to 2$, $2 \to 1$이다. 합하면 $36 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 99$이다. 총합은 같지만, $99$명의 탈락을 바로 세는 것보다 훨씬 손이 많이 간다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

2.OA.A.1 Solve one- and two-step word problems using addition and subtraction within 100 (경기 한 번마다 선수가 정확히 한 명 탈락함을 인식하여, 경기와 탈락을 일대일로 짝짓는 데 사용.)
2.NBT.B.5 Fluently add and subtract within 100 (우승자 한 명을 남기기 위한 탈락자 $100 - 1 = 99$명을 계산하는 데 사용.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite ($99 = 9 \times 11$로 인수분해하여 각 보기를 검증하고 $11$로 나누어떨어짐을 확인하는 데 사용.)

⭐ 경기 수를 구하려면 경기를 세지 말고 누가 탈락하는지 세라. 우승자가 한 명이면 나머지 $99$명이 각각 한 번씩 졌으니 경기는 $99$번이다.