AMC 10 · 2003 · #25
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AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
자유롭게 정할 수 있는 숫자는 천의 자리와 백의 자리 두 개뿐이므로 이를 a, b로 이름 붙입니다 (도구 #4). 3의 배수 판정법에 따르면, 어떤 수가 3의 배수인 것은 그 수의 각 자리 숫자의 합이 3의 배수일 때와 정확히 같습니다. 그러면 문제 전체가 a+b에 대한 한 가지 조건으로 바뀝니다. 조건에 맞는 b를 세기 위해, 0,1,…,9를 3으로 나눈 나머지의 반복 패턴을 살펴봅니다 (도구 #5). 이 패턴 덕분에 어림짐작 대신 정확히 셀 수 있습니다. b에 필요한 나머지가 a에 따라 달라지므로, a의 아홉 값을 그 자신의 나머지로 세 경우로 쪼개고 (도구 #7) 각 경우를 짧은 목록으로 셉니다 (도구 #2). 세 경우의 개수를 더하면 전체가 됩니다.
수를 자리 숫자 합 조건으로 바꾸기
ab23의 자리 숫자 합은 a + b + 2 + 3 = a + b + 5이고, 이것이 3의 배수여야 합니다.
3으로 나누어떨어지는지는 자리 숫자 합만 보면 되므로, 고정된 2와 3은 상수 5만 더할 뿐입니다.
3으로 나누어떨어지는지는 자릿수의 합만 보면 되므로, 정해진 자릿수는 상수만 보탤 뿐이다.
▸ 왜?
모든 자리의 값은 3의 배수보다 하나 크므로, 나눗셈에서는 자릿수의 합만 살아남는다.
▸ 왜?
수는 자릿수에 자리의 무게를 곱한 것이므로, 그 무게를 갈라 내는 일은 언제나 정당하다.
자유 숫자가 만들어야 할 나머지 찾기
5는 3으로 나눈 나머지가 2이므로, 모자란 1을 채우려면 a + b의 나머지는 1이어야 합니다.
상수 5가 이미 나머지 2를 만들어 놓았으므로, 두 자유 숫자가 모자란 나머지 1을 채워야 합니다.
4.NBT.B.6Introduce A Variable각 나머지별로 b의 개수 세기
b를 0부터 9까지 나머지로 묶으면 나머지 0은 {0,3,6,9}로 4개, 나머지 1과 2는 각각 3개입니다.
0부터 9까지 열 개는 3개짜리 묶음으로 딱 나뉘지 않아서 나머지별로 4-3-3으로 갈립니다.
4.OA.C.5Look For A Patterna를 세 경우로 쪼개기
a도 1부터 9까지 나머지로 묶으면 a≡1은 3 × 4 = 12, a≡2와 a≡0은 각각 3 × 3 = 9입니다.
a의 각 나머지 묶음이 b에 필요한 나머지를 정확히 정해 주므로, 각 경우는 깔끔한 곱셈이 됩니다.
4.OA.B.4Identify Subproblems세 경우를 더하기
세 경우는 겹치지 않으므로 개수를 그냥 더하면 12 + 9 + 9 = 30이고, 답은 (B)입니다.
세 나머지 경우가 겹치지 않으므로 개수를 그냥 더하면 됩니다.
4.OA.A.3Identify Subproblems3으로 나누어떨어지는지는 자리 숫자 합만 보면 되므로, 고정된 숫자는 얼려 두고 두 자유 숫자가 알맞은 나머지 묶음에 들어가는 경우를 세면 됩니다.
- 수를 자리 숫자 합 조건으로 바꾸기
- 자유 숫자가 만들어야 할 나머지 찾기
- 각 나머지별로 b의 개수 세기
- a를 세 경우로 쪼개기
- 세 경우를 더하기