AMC 10 · 2003 · #25

학년 4 number-theory

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Floor Count Across Residue Bins

divisibility-rulesdigit-summodular-arithmetic caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: divisibility-rules

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문제

$3$ 으로 나누어떨어지고 마지막 두 자리가 $23$ 인 서로 다른 네 자리 수는 몇 개인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $23$으로 끝나는 네 자리 수는 $\overline{ab23}$ 모양입니다. 천의 자리 숫자, 백의 자리 숫자, 그리고 고정된 숫자 $2$와 $3$이 뒤에 붙습니다. 이런 수 중에서 $3$의 배수가 몇 개인지 세어 봅니다.

주어진 것: 이 수는 네 자리이고 마지막 두 자리 숫자는 $2$와 $3$입니다.; 따라서 이 수는 $1000a + 100b + 23$으로 쓸 수 있고, $a$는 천의 자리, $b$는 백의 자리 숫자입니다.; 이 수는 $3$으로 나누어떨어져야 합니다.; 선택지: (A) $27$, (B) $30$, (C) $33$, (D) $81$, (E) $90$.

구하는 것: 두 자유 숫자 $a$와 $b$를 어떻게 골라야 $\overline{ab23}$이 $3$의 배수가 되는지, 그 경우의 수.

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기

자유롭게 정할 수 있는 숫자는 천의 자리와 백의 자리 두 개뿐이므로 이를 $a$, $b$로 이름 붙입니다 (도구 #4). $3$의 배수 판정법에 따르면, 어떤 수가 $3$의 배수인 것은 그 수의 각 자리 숫자의 합이 $3$의 배수일 때와 정확히 같습니다. 그러면 문제 전체가 $a+b$에 대한 한 가지 조건으로 바뀝니다. 조건에 맞는 $b$를 세기 위해, $0,1,\dots,9$를 $3$으로 나눈 나머지의 반복 패턴을 살펴봅니다 (도구 #5). 이 패턴 덕분에 어림짐작 대신 정확히 셀 수 있습니다. $b$에 필요한 나머지가 $a$에 따라 달라지므로, $a$의 아홉 값을 그 자신의 나머지로 세 경우로 쪼개고 (도구 #7) 각 경우를 짧은 목록으로 셉니다 (도구 #2). 세 경우의 개수를 더하면 전체가 됩니다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 4.OA.B.4 단계 1

수를 자리 숫자 합 조건으로 바꾸기

이 수를 $\overline{ab23}$으로 쓰면 네 자리 숫자는 $a$, $b$, $2$, $3$입니다.
어떤 수가 $3$으로 나누어떨어지는 것은 각 자리 숫자의 합이 $3$으로 나누어떨어질 때와 정확히 같습니다.
여기서 그 합은 $a + b + 2 + 3 = a + b + 5$입니다.
그러므로 중요한 것은 오직 $a + b + 5$가 $3$의 배수인지 여부입니다.

$$\text{자리 숫자 합} = a + b + 2 + 3 = a + b + 5$$

💡 $3$으로 나누어떨어지는지는 자리 숫자 합만 보면 되므로, 고정된 $2$와 $3$은 상수 $5$만 더할 뿐입니다.

#4 변수 도입하기 4.NBT.B.6 단계 2

자유 숫자가 만들어야 할 나머지 찾기

$a + b + 5$가 $3$의 배수여야 합니다.
$5$는 $3$으로 나누면 나머지가 $2$이므로, $a+b$를 더해서 그 나머지 $2$를 다시 $3$의 배수로 끌어올려야 합니다.
그러려면 $a + b$ 자체를 $3$으로 나눈 나머지가 $1$이어야 합니다 ($1 + 2 = 3$이기 때문입니다).
그래서 조건은 이렇게 바뀝니다: $a + b$를 $3$으로 나눈 나머지가 $1$이다.

$$a + b + 5 \equiv 0 \pmod 3 \;\Rightarrow\; a + b \equiv 1 \pmod 3$$

💡 상수 $5$가 이미 나머지 $2$를 만들어 놓았으므로, 두 자유 숫자가 모자란 나머지 $1$을 채워야 합니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

각 나머지별로 b의 개수 세기

백의 자리 $b$를 $0$부터 $9$까지, $3$으로 나눈 나머지로 묶습니다.
나머지 $0$: $\{0,3,6,9\}$ — $4$개.
나머지 $1$: $\{1,4,7\}$ — $3$개.
나머지 $2$: $\{2,5,8\}$ — $3$개.
그래서 $b$에 필요한 나머지를 알면 그 선택지 개수도 알 수 있습니다: 나머지 $0$이 필요하면 $4$개, 그 외에는 $3$개입니다.

$$b\equiv 0:\{0,3,6,9\}\,(4),\quad b\equiv 1:\{1,4,7\}\,(3),\quad b\equiv 2:\{2,5,8\}\,(3)$$

💡 $0$부터 $9$까지 열 개는 $3$개짜리 묶음으로 딱 나뉘지 않아서 나머지별로 $4$-$3$-$3$으로 갈립니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 4

a를 세 경우로 쪼개기

천의 자리 $a$는 $1$부터 $9$까지입니다.
이것도 나머지로 묶습니다.
나머지 $1$: $a\in\{1,4,7\}$; 이때 $b$는 나머지 $1-1=0$이 필요하므로 $4$가지 → $3\times 4 = 12$.
나머지 $2$: $a\in\{2,5,8\}$; 이때 $b$는 나머지 $1-2$, 즉 나머지 $2$가 필요하므로 $3$가지 → $3\times 3 = 9$.
나머지 $0$: $a\in\{3,6,9\}$; 이때 $b$는 나머지 $1$이 필요하므로 $3$가지 → $3\times 3 = 9$.

$$a\equiv1:3\times4=12,\quad a\equiv2:3\times3=9,\quad a\equiv0:3\times3=9$$

💡 $a$의 각 나머지 묶음이 $b$에 필요한 나머지를 정확히 정해 주므로, 각 경우는 깔끔한 곱셈이 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 5

세 경우를 더하기

세 경우는 서로 겹치지 않습니다 — 천의 자리 $a$는 정확히 한 나머지 묶음에 속하므로 어떤 수도 두 번 세지지 않습니다.
개수를 더하면 $12 + 9 + 9 = 30$입니다.
그래서 $23$으로 끝나고 $3$으로 나누어떨어지는 네 자리 수는 $30$개입니다.
선택지 중에서 $30$은 (B)입니다.

$$12 + 9 + 9 = 30 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 세 나머지 경우가 겹치지 않으므로 개수를 그냥 더하면 됩니다.

[1] #4 4.OA.B.4 이 수를 $\overline{ab23}$으로 쓰면 네 자리 숫자는 $a$, $b$, $2$, $3$입니다. 어떤 수가 $3$으로 나누어떨어지는

[2] #4 4.NBT.B.6 $a + b + 5$가 $3$의 배수여야 합니다. $5$는 $3$으로 나누면 나머지가 $2$이므로, $a+b$를 더해서 그 나머지 $2$를 다시

[3] #5 4.OA.C.5 백의 자리 $b$를 $0$부터 $9$까지, $3$으로 나눈 나머지로 묶습니다. 나머지 $0$: $\{0,3,6,9\}$ — $4$개. 나머지 $

[4] #7 4.OA.B.4 천의 자리 $a$는 $1$부터 $9$까지입니다. 이것도 나머지로 묶습니다. 나머지 $1$: $a\in\{1,4,7\}$; 이때 $b$는 나머지

[5] #7 4.OA.A.3 세 경우는 서로 겹치지 않습니다 — 천의 자리 $a$는 정확히 한 나머지 묶음에 속하므로 어떤 수도 두 번 세지지 않습니다. 개수를 더하면 $1

검토

합리성 확인: 크기를 확인해 봅니다: 자유 숫자 $a$ (아홉 가지)와 $b$ (열 가지)로 후보 수는 $9\times 10 = 90$개이고, $3$으로 나누어떨어지는 것은 대략 세 개 중 하나이므로 약 $30$개입니다 — 답과 일치하고 훨씬 큰 $81$이나 $90$은 배제됩니다. 두 개를 직접 확인해 봅니다: $1023$의 자리 합은 $1+0+2+3=6$으로 $3$의 배수 ✓ (여기서 $a=1,b=0$, 나머지 $1$ 경우); $9923$의 자리 합은 $9+9+2+3=23$으로 $3$의 배수가 아니고, 실제로 $a=9,b=9$이면 $a+b=18\equiv 0$이라 $1$이 아니므로 올바르게 제외됩니다 ✓.

대안 접근: 두 자유 숫자를 하나의 두 자리 앞부분으로 봅니다. 그 앞부분은 $10,11,\dots,99$ 전체 — 정확히 $90$개의 연속한 자연수를 훑습니다. 앞부분과 그 자리 합 $a+b$는 $3$으로 나눈 나머지가 같으므로, 나머지가 $1$인 앞부분을 찾으면 됩니다. 연속한 $90$개의 수 중에서 나머지 $0,1,2$는 각각 정확히 $90\div 3 = 30$번 나타납니다. 따라서 조건에 맞는 앞부분은 정확히 $30$개 — 경우를 거의 나누지 않고도 같은 답이 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples; determine prime or composite ($3$의 배수 판정법(자리 숫자 합이 $3$의 배수이면 그 수도 $3$의 배수)을 적용하고, 천의 자리를 나머지 경우로 쪼개는 데 사용.)
4.NBT.B.6 Find whole-number quotients and remainders with up to four-digit dividends ($3$으로 나눈 나머지를 이용해 '3의 배수' 조건을 나머지 조건 $a+b\equiv 1$로 줄이는 데 사용.)
4.OA.C.5 Generate a number or shape pattern following a given rule (숫자 $0$부터 $9$까지의 반복되는 $4$-$3$-$3$ 나머지 패턴으로 조건에 맞는 백의 자리 숫자를 세는 데 사용.)
4.OA.A.3 Solve multi-step word problems using four operations with whole numbers (겹치지 않는 세 경우의 개수 $12+9+9=30$을 합치는 데 사용.)

⭐ $3$으로 나누어떨어지는지는 자리 숫자 합만 보면 되므로, 고정된 숫자는 얼려 두고 두 자유 숫자가 알맞은 나머지 묶음에 들어가는 경우를 세면 됩니다.