AMC 10 · 2004 · #8
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AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
37 라운드를 하나하나 시뮬레이션하는 것도 되지만 느리고 실수하기 쉽습니다. 대신 처음 몇 라운드만 빠짐없이 나열해(도구 #2) 선두가 한 바퀴 도는 동안 무슨 일이 일어나는지 살펴봅니다. 시작 값 15,14,13이 번갈아 선두가 되고, 세 라운드가 지나면 모든 플레이어가 정확히 토큰 1 개씩을 잃은 채 순서가 처음으로 되돌아옵니다. 이 반복되는 세 라운드 주기가 바로 패턴입니다(도구 #5): 매 3 라운드마다 판 전체가 1 씩 아래로 내려갑니다. 이것을 보고 나면 37 줄을 나열하는 대신 거의 비어 있는 상태로 곧장 건너뛴 다음, 마지막 한 라운드만 손으로 진행합니다.
처음 세 라운드 진행하기
선두는 매 라운드 3을 잃고 나머지 둘은 1씩 얻습니다. (15,14,13)→(12,15,14)→(13,12,15)→(14,13,12).
세 개의 시작 더미가 각각 한 번씩 선두를 맡으므로, 세 라운드가 지나면 같은 순서로 상황이 한 바퀴 돌아옵니다.
4.NBT.B.4Make A Systematic List세 라운드 주기 발견하기
세 라운드 뒤 모든 더미가 1씩 줄고 A가 다시 선두이므로, 3k 라운드 후에는 (15-k, 14-k, 13-k)입니다.
세 라운드 뒤 판은 모든 수가 하나씩 낮아진 시작의 완벽한 복사본이므로, 패턴이 사다리를 따라 계속 반복됩니다.
세 판이 지나면 판은 모든 더미가 하나씩 줄어든 처음의 완벽한 복사본이 된다.
▸ 왜?
세 더미가 저마다 한 번씩 선도자가 되므로, 세 판 뒤에는 역할이 돌아온다.
▸ 왜?
모든 더미가 똑같이 하나씩 줄어들므로, 더미 사이의 차는 이전과 정확히 같다.
거의 비어 있는 상태로 건너뛰기
가장 작은 C는 13-k=1, 즉 k=12에서 1이 됩니다. 3×12=36 라운드 후에는 (3,2,1)이고 아직 빈 사람은 없습니다.
패턴을 12 주기만큼 늘리면 모든 라운드를 나열하지 않고도 끝에서 한 걸음 앞에 도착합니다.
4.OA.A.3Look For A Pattern마지막 라운드 진행하기
(3,2,1)에서 선두 A는 3을 모두 내주고 0이 되어 게임이 끝납니다. 36+1=37 라운드, 선택지 (B)입니다.
토큰을 정확히 3 개 가진 선두는 한 라운드에 그것들을 모두 내주므로, 바로 그 라운드에 게임이 멈춥니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List어떤 과정이 주기로 반복될 때는, 한 주기마다 얼마나 변하는지 찾아 곱하세요 — 그러면 마지막 남은 부분만 손으로 진행하면 됩니다.
- 처음 세 라운드 진행하기
- 세 라운드 주기 발견하기
- 거의 비어 있는 상태로 건너뛰기
- 마지막 라운드 진행하기