AMC 10 · 2004 · #8

학년 4 arithmetic

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Rule-Governed Process Simulation

invariant-monovariant pattern-recognitionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

토큰으로 다음 규칙에 따라 게임을 합니다. 각 라운드마다 토큰을 가장 많이 가진 플레이어가 다른 모든 플레이어에게 토큰을 하나씩 주고, 토큰 하나를 버림 더미에 놓습니다. 어떤 플레이어의 토큰이 다 떨어지면 게임이 끝납니다. 플레이어 $A$ , $B$ , $C$ 는 각각 $15$ , $14$ , $13$ 개의 토큰으로 시작합니다. 이 게임은 몇 라운드 동안 진행됩니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 명의 플레이어가 각각 $15$, $14$, $13$ 개의 토큰으로 시작합니다. 매 라운드마다 지금 토큰이 가장 많은 사람이 다른 두 사람에게 각각 토큰 하나씩을 주고, 토큰 하나를 버림 더미에 놓습니다. 어떤 플레이어의 토큰이 하나도 남지 않는 순간 게임이 끝납니다. 몇 라운드가 진행되는지 구하세요.

주어진 것: 플레이어 $A$, $B$, $C$ 는 각각 $15$, $14$, $13$ 개의 토큰으로 시작합니다.; 매 라운드마다 현재 선두는 다른 두 사람에게 각각 토큰 $1$ 개를 주고 토큰 $1$ 개를 버립니다.; 그래서 선두는 한 라운드에 토큰 $3$ 개를 잃고, 다른 두 사람은 각각 $1$ 개를 얻습니다.; 어떤 플레이어의 토큰이 다 떨어지는($0$ 이 되는) 즉시 게임이 끝납니다.; 선택지: (A) $36$, (B) $37$, (C) $38$, (D) $39$, (E) $40$

구하는 것: 어떤 플레이어가 처음으로 토큰 $0$ 개에 도달하기 전까지 진행되는 총 라운드 수.

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

$37$ 라운드를 하나하나 시뮬레이션하는 것도 되지만 느리고 실수하기 쉽습니다. 대신 처음 몇 라운드만 빠짐없이 나열해(도구 #2) 선두가 한 바퀴 도는 동안 무슨 일이 일어나는지 살펴봅니다. 시작 값 $15,14,13$ 이 번갈아 선두가 되고, 세 라운드가 지나면 모든 플레이어가 정확히 토큰 $1$ 개씩을 잃은 채 순서가 처음으로 되돌아옵니다. 이 반복되는 세 라운드 주기가 바로 패턴입니다(도구 #5): 매 $3$ 라운드마다 판 전체가 $1$ 씩 아래로 내려갑니다. 이것을 보고 나면 $37$ 줄을 나열하는 대신 거의 비어 있는 상태로 곧장 건너뛴 다음, 마지막 한 라운드만 손으로 진행합니다.

실행 — 정답: B

#2 빠짐없이 나열하기 4.NBT.B.4 단계 1

처음 세 라운드 진행하기

토큰 수를 $(A,B,C)$ 로 쓰고 누가 선두인지 따라갑니다.
$(15,14,13)$ 에서 시작합니다.
1라운드: $A$ 가 $15$ 로 선두이므로 $B$ 에게 $1$, $C$ 에게 $1$ 을 주고 $1$ 을 버려 $3$ 을 잃고 $12$ 가 됩니다.
$B$ 와 $C$ 는 각각 $1$ 씩 얻어 $(12,15,14)$ 가 됩니다.
2라운드: 이제 $B$ 가 $15$ 로 선두이므로 $12$ 로 내려가고 $A$ 와 $C$ 는 각각 $1$ 씩 얻어 $(13,12,15)$ 가 됩니다.
3라운드: $C$ 가 $15$ 로 선두이므로 $12$ 로 내려가고 $A$ 와 $B$ 는 각각 $1$ 씩 얻어 $(14,13,12)$ 가 됩니다.

$$(15,14,13)\to(12,15,14)\to(13,12,15)\to(14,13,12)$$

💡 세 개의 시작 더미가 각각 한 번씩 선두를 맡으므로, 세 라운드가 지나면 같은 순서로 상황이 한 바퀴 돌아옵니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

세 라운드 주기 발견하기

시작 $(15,14,13)$ 을 세 라운드 후 상태 $(14,13,12)$ 와 비교합니다.
모든 플레이어가 정확히 토큰 $1$ 개씩 적어졌고, $A$ 가 다시 선두이며 나머지 둘이 바로 아래에 있습니다.
그래서 같은 세 라운드 춤이 반복되고, $3$ 라운드로 이루어진 한 주기마다 모든 더미에서 $1$ 씩 빠집니다.
즉 $3k$ 라운드 후 토큰 수는 $(15-k,\;14-k,\;13-k)$ 입니다.

$$3k \text{ 라운드 후: } (15-k,\,14-k,\,13-k)$$

💡 세 라운드 뒤 판은 모든 수가 하나씩 낮아진 시작의 완벽한 복사본이므로, 패턴이 사다리를 따라 계속 반복됩니다.

#5 패턴 찾기 4.OA.A.3 단계 3

거의 비어 있는 상태로 건너뛰기

가장 작은 더미는 $C$ 이고, $3k$ 라운드 후 $13-k$ 를 가집니다.
이것이 마지막 안전한 값인 $1$ 개에 도달하는 것은 $13-k=1$, 즉 $k=12$ 일 때입니다.
$12$ 주기는 $3\times12=36$ 라운드이므로, $36$ 라운드 후 토큰 수는 $(15-12,\,14-12,\,13-12)=(3,2,1)$ 입니다.
아직 비어 있는 사람은 없고 게임은 계속됩니다.

$$13-k=1\Rightarrow k=12,\quad 3\times12=36 \text{ 라운드}\Rightarrow(3,2,1)$$

💡 패턴을 $12$ 주기만큼 늘리면 모든 라운드를 나열하지 않고도 끝에서 한 걸음 앞에 도착합니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 4

마지막 라운드 진행하기

$(3,2,1)$ 에서 이제 $37$ 라운드입니다.
선두는 토큰 $3$ 개를 가진 $A$ 이므로 $B$ 에게 $1$, $C$ 에게 $1$ 을 주고 $1$ 을 버려야 합니다 — 토큰 $3$ 개를 모두 내주고 $0$ 에 도달합니다.
$A$ 가 $0$ 이 되는 순간 한 플레이어의 토큰이 다 떨어졌으므로 게임이 끝납니다.
주기에서 나온 $36$ 라운드에 이 마지막 라운드를 더하면 $36+1=37$ 라운드이고, 이는 선택지 (B)입니다.

$$(3,2,1)\xrightarrow{37\text{라운드}}(0,3,2)\Rightarrow 36+1=37\;\Rightarrow\;\textbf{(B)}$$

💡 토큰을 정확히 $3$ 개 가진 선두는 한 라운드에 그것들을 모두 내주므로, 바로 그 라운드에 게임이 멈춥니다.

[1] #2 4.NBT.B.4 토큰 수를 $(A,B,C)$ 로 쓰고 누가 선두인지 따라갑니다. $(15,14,13)$ 에서 시작합니다. 1라운드: $A$ 가 $15$ 로 선두

[2] #5 4.OA.C.5 시작 $(15,14,13)$ 을 세 라운드 후 상태 $(14,13,12)$ 와 비교합니다. 모든 플레이어가 정확히 토큰 $1$ 개씩 적어졌고,

[3] #5 4.OA.A.3 가장 작은 더미는 $C$ 이고, $3k$ 라운드 후 $13-k$ 를 가집니다. 이것이 마지막 안전한 값인 $1$ 개에 도달하는 것은 $13-k=

[4] #2 4.OA.A.3 $(3,2,1)$ 에서 이제 $37$ 라운드입니다. 선두는 토큰 $3$ 개를 가진 $A$ 이므로 $B$ 에게 $1$, $C$ 에게 $1$ 을 주

검토

합리성 확인: 매 라운드마다 게임에서 정확히 토큰 $1$ 개가 빠집니다(선두 $-3$, 다른 둘 각각 $+1$). 플레이어들은 총 $15+14+13=42$ 개로 시작합니다. $37$ 라운드 후에는 $37$ 개가 사라져 $42-37=5$ 개가 남는데, 실제로 마지막 상태 $(0,3,2)$ 의 합은 $0+3+2=5$ 개입니다. 계산이 맞아떨어지고, $37$ 은 선택지 (B)입니다.

대안 접근: 플레이어 $A$ 의 토큰만 추적합니다(도구 #4, 따라갈 변수 도입). 세 라운드 주기마다 $A$ 는 $15\to12\to13\to14$ 로, 순 감소 $1$ 이며 각 주기 시작에서 여전히 선두입니다. $12$ 주기 후 $A$ 는 $15-12=3$ 이고 선두이므로, 다음 라운드에 토큰 $3$ 개를 모두 내줍니다. 그 라운드는 $3\times12+1=37$ 이며, (B)를 확인합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.B.4 여러 자리 정수를 능숙하게 더하고 뺀다 (첫 주기와 마지막 라운드를 시뮬레이션하며 라운드마다 각 플레이어의 토큰 수를 갱신(선두 $-3$, 나머지 $+1$)하는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴을 만든다 (매 세 라운드마다 각 더미가 $1$ 씩 줄어드는 것을 알아채고 $3k$ 라운드 후 $(15-k,14-k,13-k)$ 로 일반화하는 데 사용.)
4.OA.A.3 네 가지 연산으로 여러 단계 문장제를 해결한다 ($3\times12=36$ 으로 거의 비어 있는 상태로 건너뛴 다음 마지막 라운드를 더해 총 $37$ 라운드를 구하는 데 사용.)

⭐ 어떤 과정이 주기로 반복될 때는, 한 주기마다 얼마나 변하는지 찾아 곱하세요 — 그러면 마지막 남은 부분만 손으로 진행하면 됩니다.