AMC 10 · 2005 · #10
학년 8 algebra방정식 4x2+ax+8x+9=0이 x에 대해 오직 하나의 해를 갖도록 하는 a의 값이 두 개 있습니다. 그 두 a 값의 합은 얼마입니까?
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AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 방정식 $4x^2+ax+8x+9=0$ 에는 매개변수 $a$ 가 있습니다. 정확히 두 개의 특별한 $a$ 값에 대해 이 방정식은 $x$ 에 대한 해가 오직 하나뿐입니다. 그 두 $a$ 값의 합을 구하세요.
주어진 것: 방정식은 $4x^2+ax+8x+9=0$; $x$ 에 대한 해가 오직 하나가 되게 하는 $a$ 값은 정확히 두 개; 선택지: (A) $-16$, (B) $-8$, (C) $0$, (D) $8$, (E) $20$
구하는 것: 해가 오직 하나가 되게 하는 두 $a$ 값; 그 두 $a$ 값의 합
이해
문제 재정리: 방정식 $4x^2+ax+8x+9=0$ 에는 매개변수 $a$ 가 있습니다. 정확히 두 개의 특별한 $a$ 값에 대해 이 방정식은 $x$ 에 대한 해가 오직 하나뿐입니다. 그 두 $a$ 값의 합을 구하세요.
주어진 것: 방정식은 $4x^2+ax+8x+9=0$; $x$ 에 대한 해가 오직 하나가 되게 하는 $a$ 값은 정확히 두 개; 선택지: (A) $-16$, (B) $-8$, (C) $0$, (D) $8$, (E) $20$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #4 변수 도입하기, #3 가능성 지우기
먼저 방정식을 표준형 $4x^2+(a+8)x+9=0$ 으로 정리합니다. 핵심은 도구 #5(패턴 찾기)입니다: $0$ 과 같게 놓은 이차식은 좌변이 완전제곱일 때에만 해가 하나이고, 양 끝 항 $4x^2$ 과 $9$ 는 이미 $2x$ 와 $3$ 의 제곱입니다. 패턴 $(2x\pm 3)^2=4x^2\pm 12x+9$ 에 맞추면 가운데 계수가 정해집니다. 그다음 도구 #4(변수 도입하기)로 이 대응을 작은 방정식 $a+8=\pm 12$ 로 바꾸어 $a$ 에 대해 풀고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 합을 선택지와 대조해 확인합니다.
실행 — 정답: A
7.EE.A.1 단계 1 두 x항 합치기
- 가운데 두 항은 모두 $x$ 를 포함하므로 동류항이고 함께 더해집니다: $ax+8x=(a+8)x$.
- 방정식은 표준형 이차식 $4x^2+(a+8)x+9=0$ 이 됩니다.
- $a$ 에 의존하는 것은 가운데 계수뿐이고, 양 끝 $4$ 와 $9$ 는 고정입니다.
💡 변수 부분이 같은 항은 합쳐지므로 흩어진 $x$ 항들이 하나로 모입니다.
8.EE.A.2 단계 2 해가 하나면 완전제곱
- $0$ 과 같은 이차식은 좌변이 완전제곱일 때에만 해가 하나이고, 그때 두 근이 겹칩니다.
- 여기서 양 끝 항은 이미 완전제곱입니다: $4x^2=(2x)^2$, $9=3^2$.
- 따라서 좌변 전체는 $(2x+3)^2$ 또는 $(2x-3)^2$ 이어야 하며, 아직 모르는 것은 $3$ 의 부호입니다.
💡 중근은 이차식을 하나의 제곱으로 묶고, $4x^2$ 과 $9$ 가 어떤 제곱을 시도할지 알려줍니다.
6.EE.A.3 단계 3 가운데 항 맞추기
- 분배법칙으로 각 후보 제곱을 전개합니다: $(2x+3)^2=4x^2+12x+9$, $(2x-3)^2=4x^2-12x+9$.
- $x^2$ 항과 상수항은 이미 일치하므로, 두 식은 가운데 계수가 일치할 때에만 같아집니다.
- 이로부터 $a+8=12$ 또는 $a+8=-12$ 가 됩니다.
💡 같은 두 이차식은 계수끼리 일치해야 하므로 가운데 항이 서로 맞아떨어집니다.
8.EE.C.7 단계 4 각 a 값 풀기
- 각 대응은 일차방정식 한 단계입니다.
- $a+8=12$ 에서 $8$ 을 빼면 $a=4$.
- $a+8=-12$ 에서 $8$ 을 빼면 $a=-20$.
- 이 두 값이 원래 방정식의 $x$ 해를 하나로 만드는 값입니다.
💡 각 부호마다 $+8$ 을 한 번씩 되돌리면 $a$ 가 드러납니다.
7.NS.A.1 단계 5 두 값 더하기
- 문제는 두 $a$ 값의 합을 묻습니다.
- 더하면 $4+(-20)=-16$.
- 선택지를 훑어보면 $-16$ 은 (A)이고 다른 선택지는 맞지 않으므로 답은 (A)입니다.
💡 두 값은 $-8$ 을 중심으로 대칭이므로 합은 $2\times(-8)=-16$ 에 도달합니다.
7.EE.A.1 가운데 두 항은 모두 $x$ 를 포함하므로 동류항이고 함께 더해집니다: $ax+8x=(a+8)x$. 방정식은 표준형 이차식 $4x^2+(a+8) 8.EE.A.2 $0$ 과 같은 이차식은 좌변이 완전제곱일 때에만 해가 하나이고, 그때 두 근이 겹칩니다. 여기서 양 끝 항은 이미 완전제곱입니다: $4x^2= 6.EE.A.3 분배법칙으로 각 후보 제곱을 전개합니다: $(2x+3)^2=4x^2+12x+9$, $(2x-3)^2=4x^2-12x+9$. $x^2$ 항과 상수 8.EE.C.7 각 대응은 일차방정식 한 단계입니다. $a+8=12$ 에서 $8$ 을 빼면 $a=4$. $a+8=-12$ 에서 $8$ 을 빼면 $a=-20$. 7.NS.A.1 문제는 두 $a$ 값의 합을 묻습니다. 더하면 $4+(-20)=-16$. 선택지를 훑어보면 $-16$ 은 (A)이고 다른 선택지는 맞지 않으므로 검토
합리성 확인: 두 값 $a=4$ 와 $a=-20$ 은 $-8$ 에서 $\pm 12$ 만큼 떨어진 값이므로, 정확한 이동량과 무관하게 합은 $2\times(-8)=-16$ 이어야 합니다 — 계산이 일관됨을 보여주는 좋은 신호입니다. $a=4$ 확인: 방정식은 $4x^2+12x+9=(2x+3)^2=0$ 이 되어 해가 $x=-\tfrac{3}{2}$ 하나뿐입니다. $a=-20$ 확인: $4x^2-12x+9=(2x-3)^2=0$ 이 되어 해가 $x=\tfrac{3}{2}$ 하나뿐입니다. 둘 다 실제로 해가 하나이고, $4+(-20)=-16$ 은 선택지 (A)와 일치합니다.
대안 접근: 판별식을 사용합니다. $4x^2+(a+8)x+9=0$ 에서 해가 하나라는 것은 판별식이 $0$ 이라는 뜻입니다: $(a+8)^2-4\cdot 4\cdot 9=0$, 즉 $(a+8)^2=144$. 전개하면 $a^2+16a-80=0$, 이 이차방정식의 두 근이 구하려는 $a$ 값입니다. 비에트 정리에 의해 두 근의 합은 $-\tfrac{16}{1}=-16$ 이며, 각 근을 따로 풀지 않고도 같은 답이 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
7.EE.A.1연산의 성질을 적용하여 일차식을 더하고, 빼고, 인수분해하고, 전개한다 (동류항 $ax+8x$ 를 $(a+8)x$ 로 합쳐 방정식을 표준형 이차식으로 쓰는 데 사용.)8.EE.A.2제곱근과 세제곱근 기호를 사용하여 해를 나타낸다 ($4x^2=(2x)^2$, $9=3^2$ 을 알아채어 해가 하나인 좌변이 완전제곱 $(2x\pm 3)^2$ 이어야 함을 파악하는 데 사용.)6.EE.A.3연산의 성질을 적용하여 동치인 식을 만든다 ($(2x\pm 3)^2$ 을 $4x^2\pm 12x+9$ 로 전개하고 계수를 맞추어 $a+8=\pm 12$ 를 얻는 데 사용.)8.EE.C.7일변수 일차방정식을 푼다 ($a+8=12$ 와 $a+8=-12$ 를 풀어 $a=4$, $a=-20$ 을 구하는 데 사용.)7.NS.A.1덧셈과 뺄셈에 대한 이해를 확장하여 유리수를 더하고 뺀다 (두 값 $4+(-20)=-16$ 을 더해 요구된 합을 구하는 데 사용.)
⭐ 이차식은 좌변이 완전제곱일 때 해가 하나이므로, $(2x\pm 3)^2$ 에 맞추어 가운데 항을 읽어내세요.
⭐ 이차식은 좌변이 완전제곱일 때 해가 하나이므로, $(2x\pm 3)^2$ 에 맞추어 가운데 항을 읽어내세요.
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