AMC 10 · 2005 · #10

학년 8 algebra
유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery
quadratic-equationsperfect-squares pattern-recognitionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: quadratic-equationsperfect-squarespolynomial-factoring
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
방정식 4x²+ax+8x+9=0에는 매개변수 a가 있습니다. 정확히 두 개의 특별한 a 값에 대해 이 방정식은 x에 대한 해가 오직 하나뿐입니다. 그 두 a 값의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
-16
(B)
-8
(C)
0
(D)
8
(E)
20

AMC 10 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 패턴 찾기

먼저 방정식을 표준형 4x²+(a+8)x+9=0으로 정리합니다. 핵심은 도구 #5(패턴 찾기)입니다: 0과 같게 놓은 이차식은 좌변이 완전제곱일 때에만 해가 하나이고, 양 끝 항 4x²과 9는 이미 2x 와 3의 제곱입니다. 패턴 (2x± 3)²=4x²± 12x+9에 맞추면 가운데 계수가 정해집니다. 그다음 도구 #4(변수 도입하기)로 이 대응을 작은 방정식 a+8=± 12로 바꾸어 a 에 대해 풀고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 합을 선택지와 대조해 확인합니다.

1STEP 1

두 x항 합치기

두 가운데 항은 모두 x를 가지므로 합쳐집니다: ax+8x=(a+8)x, 즉 4x²+(a+8)x+9=0. a는 가운데 계수에만 있습니다.

4x²+ax+8x+9=4x²+(a+8)x+9=0
2STEP 2

해가 하나면 완전제곱

해가 하나면 좌변은 완전제곱입니다. 4x²=(2x)², 9=3²이므로 (2x±3)² 꼴이고, 부호만 미정입니다.

4x²+(a+8)x+9=(2x± 3)²
3STEP 3

가운데 항 맞추기

전개하면 (2x±3)²=4x²±12x+9. 양 끝이 이미 같으니 가운데 계수도 같아야 합니다: a+8=±12.

(2x± 3)²=4x²± 12x+9 → a+8=± 12
4STEP 4

각 a 값 풀기

각각 8을 빼면 a+8=12에서 a=4, a+8=-12에서 a=-20입니다.

a+8=12→ a=4; a+8=-12→ a=-20
5STEP 5

두 값 더하기

묻는 것은 합이므로 더하면 4+(-20)=-16, 즉 선택지 (A)입니다.

4+(-20)=-16 → (A)
정답
-16
두 값 a=4와 a=-20은 -8에서 ± 12만큼 떨어진 값이므로, 정확한 이동량과 무관하게 합은 2×(-8)=-16이어야 합니다 — 계산이 일관됨을 보여주는 좋은 신호입니다. a=4 확인: 방정식은 4x²+12x+9=(2x+3)²=0이 되어 해가 x=-3/2 하나뿐입니다. a=-20 확인: 4x²-12x+9=(2x-3)²=0이 되어 해가 x=3/2 하나뿐입니다. 둘 다 실제로 해가 하나이고, 4+(-20)=-16은 선택지 (A)와 일치합니다.
💡핵심 정리

이차식은 좌변이 완전제곱일 때 해가 하나이므로, (2x±3)²에 맞추어 가운데 항을 읽어내세요.

  • 두 x항 합치기
  • 해가 하나면 완전제곱
  • 가운데 항 맞추기
  • 각 a 값 풀기
  • 두 값 더하기

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