AMC 10 · 2006 · #20

학년 7 probability

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Floor Count Across Residue Bins

modular-arithmeticprobability-basicsystematic-enumeration logical-deduction ↑ 선수 지식: modular-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

1부터 2006까지에서 서로 다른 정수 여섯 개를 무작위로 고른다. 그중 어떤 두 수의 차가 5의 배수가 될 확률을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{2}$

(B)

$\frac{3}{5}$

(C)

$\frac{2}{3}$

(D)

$\frac{4}{5}$

(E)

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 극단의 원리

"차가 5의 배수"라는 조건은 두 수씩 일일이 따지기 어렵다. 그래서 Tool #16(관점 바꾸기)으로 이를 "두 수를 5로 나눈 나머지가 같다"로 바꿔 쓴다. 이어서 Tool #2(빠짐없이 나열하기)로 가능한 나머지가 다섯 가지뿐임을 확인한다. 마지막으로 Tool #14(극단의 원리)가 마무리한다. 나머지가 겹치지 않도록 최대한 흩어 놓는 극단의 경우를 시도해 보면, 다섯 가지 나머지를 다 쓰고 나면 여섯 번째 수는 반드시 겹칠 수밖에 없어, 어떤 여섯 수를 고르더라도 좋은 쌍은 피할 수 없다.

1STEP 1

조건을 나머지로 바꿔 쓰기

두 수의 차가 5의 배수인 것은 5로 나눈 나머지가 같을 때뿐이니, 좋은 쌍이란 곧 나머지가 같은 두 수다.

a-b ≡ 0 (mod 5) ⇔ a ≡ b (mod 5)

2STEP 2

나머지 그룹은 다섯 개뿐

정수를 5로 나눈 나머지는 0, 1, 2, 3, 4 중 하나뿐이므로 담을 곳은 나머지 그룹 다섯 개가 전부다.

나머지 ∈ {0,1,2,3,4} → 5 개 그룹

3STEP 3

여섯 수를 다섯 그룹에 넣으면 반드시 겹친다

최대한 흩어 놓아도 다섯 그룹에 한 수씩이 한계라, 여섯째 수는 반드시 남과 같은 그룹에 들어간다.

6 ＞ 5 → 두 수가 같은 나머지 그룹에 속한다

4STEP 4

확률 읽어내기

어떻게 고르든 좋은 쌍이 생기니 이 사건은 반드시 일어나고, 확률은 1, 곧 선택지 (E)이다.

P(좋은 쌍) = 1 → (E)

정답

답 1은 상황과 잘 맞는다. 좋은 쌍을 피하려면 여섯 수가 모두 서로 다른 나머지 그룹에 있어야 하지만, 그룹은 다섯 개뿐이라 피하는 것은 불가능하다. 여섯 수를 고르는 어떤 경우도 실패하지 않으므로 1보다 작은 답(예: 4/5)은 옳을 수 없다. 확률이 더 작다면 일부 선택이 조건을 벗어난다는 뜻인데, 그런 경우는 없다. 1부터 2006까지라는 범위는 함정일 뿐이며, 각 나머지 그룹이 존재함을 보장할 뿐 개수는 아무 상관이 없다.

💡핵심 정리

나머지로 나눠 보면, 여섯 수는 다섯 개의 나머지 그룹에만 들어갈 수 있으니 둘은 반드시 겹치고 그 차는 언제나 5의 배수이다.

조건을 나머지로 바꿔 쓰기
나머지 그룹은 다섯 개뿐
여섯 수를 다섯 그룹에 넣으면 반드시 겹친다
확률 읽어내기

조건을 나머지로 바꿔 쓰기

나머지 그룹은 다섯 개뿐

여섯 수를 다섯 그룹에 넣으면 반드시 겹친다

확률 읽어내기

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