AMC 10 · 2006 · #20

학년 7 probability

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Floor Count Across Residue Bins

modular-arithmeticprobability-basicsystematic-enumeration logical-deduction ↑ 선수 지식: modular-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

$1$ 부터 $2006$ 까지(양 끝 포함)에서 서로 다른 여섯 개의 양의 정수를 무작위로 고른다. 이 정수들 중 어떤 한 쌍의 차가 $5$ 의 배수일 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{2}$

(B)

$\frac{3}{5}$

(C)

$\frac{2}{3}$

(D)

$\frac{4}{5}$

(E)

AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1$부터 $2006$까지의 서로 다른 정수 여섯 개를 고른다. 그중 어떤 두 수의 차가 $5$의 배수가 될 확률을 구하라.

주어진 것: 여섯 개의 수를 고르며 모두 서로 다르다; 각 수는 $1$부터 $2006$까지의 정수이다; "좋은 쌍"이란 여섯 수 중 차가 $5$의 배수인 두 수를 말한다; 선택지: (A) $\frac{1}{2}$, (B) $\frac{3}{5}$, (C) $\frac{2}{3}$, (D) $\frac{4}{5}$, (E) $1$

구하는 것: 여섯 수 중 어떤 두 수의 차가 $5$의 배수가 될 확률

이해

문제 재정리: $1$부터 $2006$까지의 서로 다른 정수 여섯 개를 고른다. 그중 어떤 두 수의 차가 $5$의 배수가 될 확률을 구하라.

계획

주요 도구: #14 극단의 원리

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

"차가 $5$의 배수"라는 조건은 두 수씩 일일이 따지기 어렵다. 그래서 Tool #16(관점 바꾸기)으로 이를 "두 수를 $5$로 나눈 나머지가 같다"로 바꿔 쓴다. 이어서 Tool #2(빠짐없이 나열하기)로 가능한 나머지가 다섯 가지뿐임을 확인한다. 마지막으로 Tool #14(극단의 원리)가 마무리한다. 나머지가 겹치지 않도록 최대한 흩어 놓는 극단의 경우를 시도해 보면, 다섯 가지 나머지를 다 쓰고 나면 여섯 번째 수는 반드시 겹칠 수밖에 없어, 어떤 여섯 수를 고르더라도 좋은 쌍은 피할 수 없다.

실행 — 정답: E

#16 관점 바꾸기 4.NBT.B.6 단계 1

조건을 나머지로 바꿔 쓰기

두 수의 차가 $5$의 배수가 되는 것은 두 수를 $5$로 나눈 나머지가 같을 때뿐이다.
$a$와 $b$의 나머지가 모두 $r$이면 $a-b$의 나머지는 $0$이 되어 $5$의 배수이고, 나머지가 다르면 차는 $5$의 배수가 될 수 없다.
따라서 "좋은 쌍"이란 곧 같은 나머지 그룹에 속한 두 수를 말한다.

$$a-b \equiv 0 \pmod 5 \iff a \equiv b \pmod 5$$

💡 $5$로 나눈 나머지가 같은 두 수는 눈금이 맞아떨어져 그 차가 딱 $5$의 배수가 된다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 2

나머지 그룹은 다섯 개뿐

어떤 정수든 $5$로 나누면 나머지는 $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ 중 하나뿐이며 그 밖의 값은 없다.
다섯 가지다.
그러므로 고른 여섯 수는 모두 이 다섯 개의 나머지 그룹 중 하나에 들어간다.

$$\text{나머지} \in \{0,1,2,3,4\} \;\Rightarrow\; 5 \text{개 그룹}$$

💡 $5$로 나누면 남는 값은 다섯 가지뿐이므로 담을 칸도 다섯 개다.

#14 극단의 원리 4.NBT.B.6 단계 3

여섯 수를 다섯 그룹에 넣으면 반드시 겹친다

나머지를 최대한 흩어 놓으려는 극단의 경우를 시도해 보자.
다섯 그룹 각각에 많아야 한 수씩만 넣을 수 있으니 이렇게 다섯 수를 쓴다.
여섯 번째 수는 새로 갈 곳이 없어 이미 한 수가 들어 있는 그룹에 합류할 수밖에 없다.
그 두 수는 나머지가 같으니 좋은 쌍이 된다.
이는 여섯 수를 어떻게 고르든 항상 일어난다.

$$6 > 5 \;\Rightarrow\; \text{두 수가 같은 나머지 그룹에 속한다}$$

💡 그룹 수보다 수가 많으면 적어도 둘은 같은 그룹에 들어갈 수밖에 없다.

#3 가능성 지우기 7.SP.C.5 단계 4

확률 읽어내기

여섯 수를 어떻게 고르든 좋은 쌍이 생기므로 이 사건은 반드시 일어난다.
반드시 일어나는 사건의 확률은 $1$이다.
따라서 어떤 두 수의 차가 $5$의 배수가 될 확률은 $1$이고, 이는 선택지 (E)이다.

$$P(\text{좋은 쌍}) = 1 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 매번 반드시 일어나는 일의 확률은 정확히 $1$이다.

[1] #16 4.NBT.B.6 두 수의 차가 $5$의 배수가 되는 것은 두 수를 $5$로 나눈 나머지가 같을 때뿐이다. $a$와 $b$의 나머지가 모두 $r$이면 $a-b$의

[2] #2 4.OA.B.4 어떤 정수든 $5$로 나누면 나머지는 $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ 중 하나뿐이며 그 밖의 값은 없다. 다섯 가지다. 그러므로 고른

[3] #14 4.NBT.B.6 나머지를 최대한 흩어 놓으려는 극단의 경우를 시도해 보자. 다섯 그룹 각각에 많아야 한 수씩만 넣을 수 있으니 이렇게 다섯 수를 쓴다. 여섯 번

[4] #3 7.SP.C.5 여섯 수를 어떻게 고르든 좋은 쌍이 생기므로 이 사건은 반드시 일어난다. 반드시 일어나는 사건의 확률은 $1$이다. 따라서 어떤 두 수의 차가

검토

합리성 확인: 답 $1$은 상황과 잘 맞는다. 좋은 쌍을 피하려면 여섯 수가 모두 서로 다른 나머지 그룹에 있어야 하지만, 그룹은 다섯 개뿐이라 피하는 것은 불가능하다. 여섯 수를 고르는 어떤 경우도 실패하지 않으므로 $1$보다 작은 답(예: $\frac{4}{5}$)은 옳을 수 없다. 확률이 더 작다면 일부 선택이 조건을 벗어난다는 뜻인데, 그런 경우는 없다. $1$부터 $2006$까지라는 범위는 함정일 뿐이며, 각 나머지 그룹이 존재함을 보장할 뿐 개수는 아무 상관이 없다.

대안 접근: 여사건을 세어 보자(Tool #16). 이 사건이 실패하는 경우는 여섯 수의 나머지가 모두 다를 때뿐이다. 그런데 여섯 개의 서로 다른 나머지가 필요하지만 나머지는 다섯 가지뿐이므로 실패하는 선택의 수는 $0$이다. 실패 확률이 $0$이니 성공 확률은 $1 - 0 = 1$, 역시 선택지 (E)이다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.NBT.B.6 Find whole-number quotients and remainders (수를 $5$로 나눈 나머지로 묶고, 같은 나머지 쌍의 차가 $5$의 배수임을 확인하는 데 사용.)
4.OA.B.4 Find all factor pairs and recognize multiples ($5$로 나눌 때 나오는 다섯 가지 나머지 $0,1,2,3,4$를 나열하는 데 사용.)
7.SP.C.5 Understand that the probability of a chance event is between 0 and 1 (반드시 일어나는 사건을 확률 정확히 $1$로 읽는 데 사용.)

⭐ 나머지로 나눠 보면, 여섯 수는 다섯 개의 나머지 그룹에만 들어갈 수 있으니 둘은 반드시 겹치고 그 차는 언제나 $5$의 배수이다.