AMC 10 · 2006 · #21
학년 4 arithmetic적어도 하나의 자리 숫자가 2 또는 3 인 네 자리 양의 정수는 몇 개인가?
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AMC 10 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 네 자리 양의 정수($1000$부터 $9999$까지) 중에서, 어느 자리에든 숫자 $2$ 또는 $3$이 적어도 한 번 들어 있는 수가 몇 개인지 세어라.
주어진 것: 대상은 네 자리 양의 정수이므로 $1000$부터 $9999$까지이다; 네 자리 중 어느 한 자리라도 $2$ 또는 $3$이면 그 수는 조건을 만족한다; 선택지: (A) $2439$, (B) $4096$, (C) $4903$, (D) $4904$, (E) $5416$
구하는 것: $2$ 또는 $3$을 적어도 하나 포함하는 네 자리 정수의 개수
이해
문제 재정리: 네 자리 양의 정수($1000$부터 $9999$까지) 중에서, 어느 자리에든 숫자 $2$ 또는 $3$이 적어도 한 번 들어 있는 수가 몇 개인지 세어라.
주어진 것: 대상은 네 자리 양의 정수이므로 $1000$부터 $9999$까지이다; 네 자리 중 어느 한 자리라도 $2$ 또는 $3$이면 그 수는 조건을 만족한다; 선택지: (A) $2439$, (B) $4096$, (C) $4903$, (D) $4904$, (E) $5416$
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
"적어도 하나"라는 표현은 도구 #16(관점 바꾸기, 여집합 세기)의 전형적인 신호이다. $2$나 $3$을 포함하는 수를 정면으로 세면 겹치는 경우($2$와 $3$을 둘 다 갖거나 $2$가 두 개인 경우 등)가 뒤엉켜 복잡해지지만, 반대편 무리 — $2$도 $3$도 전혀 없는 수 — 는 깔끔하게 한 번에 셀 수 있다. 그래서 전체에서 '하나도 없는 것'을 빼는 방법을 쓴다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 그 두 개수를 각각 한 자리씩 정하며 경우의 수를 곱해 구하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 빠르게 점검한다: 네 자리 정수의 절반 이상이 조건을 만족할 것이므로, 이미 가장 큰 선택지 쪽을 가리킨다.
실행 — 정답: E
4.OA.A.3 단계 1 여집합으로 뒤집기
- "$2$ 또는 $3$을 가진다"를 정면으로 세면 겹치는 경우를 계속 따져야 한다 (어떤 수는 $2$와 $3$을 둘 다, 또는 $2$를 두 개 가질 수 있다).
- 대신 질문을 뒤집자: 네 자리 수 전체를 센 다음, $2$와 $3$을 완전히 피한 수를 빼면 된다.
- 남는 것은 반드시 $2$ 또는 $3$을 적어도 하나 포함한다.
💡 모든 수는 원하는 것을 갖거나 피하거나 둘 중 하나이므로, "나머지"는 전체에서 피한 것을 뺀 값이다.
4.NBT.B.5 단계 2 네 자리 수 전체 세기
- 네 자리 수를 한 자리씩 만든다.
- 첫째 자리는 $1$부터 $9$까지($0$이 될 수 없으므로 $9$가지), 나머지 세 자리는 각각 $0$부터 $9$까지($10$가지)이다.
- 독립적인 선택을 곱하면 전체 개수가 된다.
💡 한 자리씩 하는 선택은 곱해진다. 모든 첫째 자리가 모든 끝자리와 짝지어지기 때문이다.
4.NBT.B.5 단계 3 2도 3도 없는 수 세기
- 이제 모든 자리에서 $2$와 $3$을 금지한다.
- 첫째 자리는 $0$, $2$, $3$을 피해야 하므로 $\{1,4,5,6,7,8,9\}$ — 즉 $7$가지이다.
- 나머지 세 자리는 $2$와 $3$만 피하면 되므로 $\{0,1,4,5,6,7,8,9\}$ — 즉 각각 $8$가지이다.
- 곱하면 $7 \times 8 \times 8 \times 8 = 7 \times 512 = 3584$이다.
💡 금지된 두 숫자를 빼면 각 자리의 선택지가 줄고, 줄어든 선택지들도 똑같이 곱해진다.
4.NBT.B.4 단계 4 빼서 마무리
- 전체에서 피한 수를 뺀다: $9000 - 3584 = 5416$.
- 이 $5416$개의 수는 두 숫자를 모두 피하지 못한 수이므로, 각각 $2$ 또는 $3$을 적어도 하나 포함한다.
- 이것은 선택지 (E)와 일치한다.
💡 피한 수를 뺀 나머지가 바로 우리가 세려던 무리이다.
4.OA.A.3 "$2$ 또는 $3$을 가진다"를 정면으로 세면 겹치는 경우를 계속 따져야 한다 (어떤 수는 $2$와 $3$을 둘 다, 또는 $2$를 두 개 가 4.NBT.B.5 네 자리 수를 한 자리씩 만든다. 첫째 자리는 $1$부터 $9$까지($0$이 될 수 없으므로 $9$가지), 나머지 세 자리는 각각 $0$부터 $ 4.NBT.B.5 이제 모든 자리에서 $2$와 $3$을 금지한다. 첫째 자리는 $0$, $2$, $3$을 피해야 하므로 $\{1,4,5,6,7,8,9\}$ — 즉 4.NBT.B.4 전체에서 피한 수를 뺀다: $9000 - 3584 = 5416$. 이 $5416$개의 수는 두 숫자를 모두 피하지 못한 수이므로, 각각 $2$ 검토
합리성 확인: 답 $5416$은 전체 $9000$의 절반을 훌쩍 넘는데, 이는 직관에 맞는다. 네 개의 자리마다 $2$나 $3$이 나올 기회가 어느 정도 있으므로, 그중 적어도 하나가 걸릴 가능성이 크다 — 따라서 다수가 조건을 만족하는 것이 자연스럽다. 이로써 (A) $2439$(절반 미만)는 즉시 탈락하고 큰 선택지들이 유력해진다. 피한 수의 개수도 확인된다: $8^3 = 512$, $7 \times 512 = 3584$이고, $3584 + 5416 = 9000$으로 전체가 복원되므로 빠뜨리거나 중복해 센 수가 없다.
대안 접근: "$2$를 포함"과 "$3$을 포함"에 대해 포함-배제로 직접 셀 수도 있지만, 그 길은 더 길고 실수하기 쉽다. 더 깔끔한 확인: $2$도 $3$도 없는 네 자리 수의 비율은 $\frac{7}{9} \times \left(\frac{8}{10}\right)^3 = \frac{7}{9} \times \frac{512}{1000}$이고, 이 비율을 $9000$에 적용하면 다시 피한 수 $3584$개가 나와 조건을 만족하는 수는 $5416$개, 같은 (E)가 된다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.OA.A.3네 가지 연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결 (세기를 전체에서 여집합($2$도 $3$도 없는 수)을 빼는 두 단계 계획으로 구성하기.)4.NBT.B.5자릿값 전략을 이용한 여러 자리 수의 곱셈 (각 자리의 독립적인 선택을 곱하기: $9 \times 10^3 = 9000$과 $7 \times 8^3 = 3584$.)4.NBT.B.4표준 알고리즘을 이용한 여러 자리 수의 덧셈과 뺄셈 (전체에서 피한 수를 빼기: $9000 - 3584 = 5416$.)
⭐ 문제에 "적어도 하나"가 나오면, 전체를 세고 하나도 없는 경우를 빼라 — 남은 것이 답이다.
⭐ 문제에 "적어도 하나"가 나오면, 전체를 세고 하나도 없는 경우를 빼라 — 남은 것이 답이다.
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